MATEMATICA IV 3º MATEMATICA y DISEÑO: ACTIVIDAD 3 y MATEMATICA II: FISICO MATEMATICA ACTIVIDAD Nº 6

MATEMATICA IV: 3º MATEMÁTICA Y DISEÑO (Reformulación 2006) ACTIVIDAD Nº 3
MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006) ACTIVIDAD Nº6

GEOMETRÍA DEL ESPACIO – Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
CONSTRUYE UN OMNIPOLIEDRO:

http://personal.telefonica.terra.es/web/ies4hellin/matematicas/TMates/omnipoliedro.htm

Otras páginas para ampliar información:

http://perso.wanadoo.es/jmora7/index.htm

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html
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Objetivo: Lo que pretendemos en esta actividad es construir un Omnipoliedro.
¿Qué es? Es un cuerpo geométrico en el que se inscriben los cinco sólidos platónicos. De dentro hacia afuera el orden de los poliedros, en nuestra construcción, será: octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro.

¿Cómo lo vamos a hacer?
El material que vamos a utilizar es:
 Varillas de madera u otro material que consigas
 Hilo de pescar u otro
 Cáncamos (uniones).
 Pintura de diversos colores.

A continuación tenemos que calcular la longitud de las distintas aristas, para ello tomaremos como base la arista del cubo, por ejemplo tomemos un cubo de arista 20 cm.

Cálculo de la longitud de las aristas
Vamos a calcular la arista del tetraedro, la siguiente imagen nos puede servir para calcularla:

Calculamos ahora la arista del octaedro, utiliza esta imagen:

Para obtener la arista del dodecaedro:


La arista del icosaedro es igual que la arista del cubo (su cálculo es bastante complicado).

Debes decidir el color de cada poliedro:
El color es otro de los aspectos importantes de esta construcción. Se ha utilizado para distinguir el armazón de cada poliedro de los otros cuatro. De esta forma resaltarán las propiedades específicas de cada uno a la vez que se ponen de manifiesto las relaciones con los demás: planos de simetría, ejes de rotación, dualidad, etc.
Para la elección de los colores se han tenido en cuenta dos factores. En primer lugar la simbología clásica de los poliedros reseñada en el capítulo 1, ya desde la Grecia Clásica se relacionaban los poliedros con los elementos de la materia: el fuego, la tierra, el aire y el mar, junto con el universo.
Platón (s.V a.c.) asignó a cada poliedro regular uno de los elementos que constituían la materia en su obra Timeo:
TETRAEDRO: EL FUEGO tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo.
OCTAEDRO: Para los griegos EL AIRE, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros.
HEXAEDRO (CUBO): Los filósofos griegos consideraban que LA TIERRA debe tener la forma del cubo, el sólido más estable de los cinco. El cubo es usado en la cristalización de algunos minerales como la galena.
ICOSAEDRO: El AGUA, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar
DODECAEDRO: Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con EL UNIVERSO como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos

En segundo lugar se ha atendido a la distinta luminosidad de los colores, que depende la estructura espectral de la luz reflejada por el pigmento. La idea básica es compensar los colores que menos van a aparecer con la elección de un color de mayor luminosidad que los haga resaltar. Se ha estudiado el porcentaje que suponen las barras de cada poliedro respecto del total de la composición. Para los cálculos se ha tomado la arista del cubo de 1 m de longitud aunque los resultados son válidos para cualquier tamaño.

Construcción: Ahora que ya sabes cuantas varillas necesitas de cada color las cortas e insertas los cáncamos (uniones). Debes hacer la varilla un poco más corta de modo que entre la longitud de la varilla y la de los dos cáncamos obtengas la longitud que tienes en la tabla. Las pintas según los colores que hayas elegido y las dejas secar.
Montaje Vamos a montar el Omnipoliedro. Con el hilo de pescar unimos las varillas en los correspondientes vértices siguiendo el siguiente esquema:
1. En primer lugar construye el tetraedro.
2. Si construyes también el cubo, verás como la estructura no se mantiene rígida, para darle rigidez, vamos a inscribirle el tetraedro (los vértices del tetraedro deben coincidir con vértices del cubo).
3. Para encajar el octaedro señala los puntos medios de las varillas del tetraedro, ahí tendrán que estar los vértices del octaedro. Ya tenemos tres de las figuras encajadas.
4. Construir el dodecaedro es bastante complicado, utiliza la estructura anterior y ten en cuenta que las aristas del cubo deben coincidir con diagonales de los pentágonos que forman el dodecaedro, ya tenemos cuatro de los cuerpos encajados, pero en esta construcción el dodecaedro aún no esta rígido.
5. Vamos a construir el icosaedro, para ello observa que los vértices del icosaedro está en los centros de las caras del dodecaedro y que las aristas del icosaedro y del dodecaedro se cortan en su punto medio. Para dar total rigidez a la figura ataremos los puntos medios de las aristas del dodecaedro y del icosaedro.

NUMEROS II

Números grandes, por Adrián Paenza

Si nos pusiéramos en fila, ocupando cada persona una baldosa de 30 centímetros cuadrados, la humanidad entera formaría una cola de casi 2.000.000 (dos millones) de kilómetros, que nos permitiría dar casi 50 vueltas al globo alrededor del Ecuador.

¿Números grandes? Sí. Grandes. Difíciles de imaginar. Uno escucha que las deudas externas se manejan en miles de millones de dólares, que las estrellas en el cielo están a años luz de la Tierra, que la molécula de ADN contiene 3 mil millones de nucleótidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis mil grados centígrados, etc. Estoy seguro de que cada uno que esté leyendo este párrafo tiene sus propios ejemplos para agregar.
Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas, contrastarlas con algo que me sea más fácil representar, ponerlas en perspectiva.
Por ejemplo, si yo le preguntara: ¿cuál es la diferencia que hay entre un millón y mil millones, usted qué contestaría? Ya sé: su primera reacción sería decir: “tres ceros”. Bien. Es cierto. Pero, ¿qué significan tres ceros en este caso? Si los convirtiéramos en segundos, ¿qué diferencia hay entre un millón y mil millones de segundos?
Tengo claro que uno puede hacer la cuenta y darse cuenta, pero la idea no es ésa. La idea es tratar de comprender si uno, internamente, tiene conceptualizada esa diferencia como para imaginarla en términos del tiempo. Y ahí es donde creo que –en general– nosotros no tenemos noción clara de cuán grandes son ciertos números, a pesar de que los usamos todos los días.
Ahora respondo la pregunta: un millón de segundos son un poco más de 11 (once) días y medio. En cambio, mil millones de segundos son casi ¡32 (treinta y dos) años! Es decir, la diferencia es abismal. No tengo claro que cuando uno responde “tres ceros” tenga noción de la “real” diferencia que hay entre un millón y mil millones.
Otro ejemplo: en el mundo hay más de seis mil seiscientos millones de personas. Parece que somos muchos. Pero, ¿qué quiere decir “muchos”? Si pusieran fotos de todos nosotros en un libro, de manera que las hojas fueran de una décima de milímetro de espesor, colocando diez personas por página y utilizando las dos caras de la hoja... el libro tendría más de ¡33 (treinta y tres) kilómetros de alto!
Además, si una persona tardara un segundo por página para recorrer las diez fotos que hay allí, y le dedicara 16 horas diarias, le llevaría casi 31 años mirarlas todas. Peor aún: cuando llegara al final, en el año 2038, el libro ya habría aumentado su tamaño, porque ya seríamos dos mil doscientos millones de personas más y el libro tendría otros 11 (once) kilómetros más de espesor.
Si nos pusiéramos en fila, ocupando cada persona una baldosa de 30 centímetros cuadrados, la humanidad entera formaría una cola de casi 2.000.000 (dos millones) de kilómetros, que nos permitiría dar casi 50 vueltas al globo alrededor del Ecuador.
Y si filmáramos una película con cada persona como “estrella” y apareciendo sólo 15 segundos en pantalla (o sea, un poco menos de siete metros de celuloide por humano), se necesitarían unos ¡46 millones de kilómetros de negativo! Además, si alguien quisiera verla (a la película), se tendría que sentar en el cine por más de 27 millones de horas, o lo que es lo mismo, más de 1.152.000 días, lo que significa unos 3.158 años. Y esto sucedería siempre que esta persona decidiera no dormir, comer ni hacer ninguna otra cosa en la vida.
Como último ejemplo, uno escucha hablar de “años luz”. ¿Usted pensó lo que significa? En realidad, un año luz es una medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz tarda un año en recorrer. Recuerdo aquí que la luz viaja a 300.000 kilómetros ¡por segundo! El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en minutos) es 18.000.000 kilómetros por minuto. Luego, nuevamente multiplicando por 60, lo transforma en 1.080.000.000 kilómetros por hora (mil ochenta millones de kilómetros por hora). Multiplicando por 24, resulta que la luz viajó 25 mil millones de kilómetros en un día. Finalmente, multiplicando por 365 días, un año luz (o sea, la distancia que la luz viaja por año) es de (aproximadamente) 9.460.000.000.000 (casi 9 billones y medio) de kilómetros. De manera tal que cada vez que le pregunten cuánto es un año luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi nueve billones y medio de kilómetros.
En todo caso, la reflexión final es que los números serán todo lo grandes que quiera pero nosotros, los humanos... “somos muchos” y los objetos en el espacio... “están muy, muy lejos”.

NUMEROS I

El juego de los números naturales Por Adrián Paenza

Ahora que se ha puesto de moda hablar sobre La Teoría de Juegos*, vale la pena plantear alguno de los problemas más característicos y atractivos que hay. El que sigue, justamente, es un desafío precioso y sutil. Es, además, muy interesante para pensar.
Supongamos que hay dos personas que van a jugar al siguiente juego. A cada uno de ellos se le va a colocar en la frente un número natural (es decir, se llaman naturales los números 1, 2, 3, 4, 5... etcétera). Sin embargo, la particularidad es que los números van a ser consecutivos. Por ejemplo, el 14 y el 15, o el 173 y el 174, o el 399 y el 400.
Obviamente, no se les dice qué número tiene cada uno, pero cada uno, a su vez, puede ver el número del otro. Gana el juego aquel que es capaz de decir qué número tiene escrito en la frente, pero dando una explicación de por qué dice lo que dice.
Se supone que ambos jugadores razonan perfectamente y sin errores, y esto es un dato no menor: saber que los dos jugadores tienen la misma capacidad de razonamiento y que no cometen errores es crucial para el juego (aunque no lo parezca).
La pregunta es: ¿es posible que alguno de los dos competidores pueda ganar el juego? Es decir, ¿podrá en algún momento uno de ellos decir “yo sé que mi número es ‘n’”?
Por ejemplo: si usted jugara contra otra persona, y usted viera que en la frente de su rival hay pintado un número “1”, su reacción debería ser inmediata. Ya ganó, porque usted podría decir: “Tengo el ‘2’”. Usted puede afirmar con certeza que su número es el “2”, porque como no hay números más chicos que 1 y ése es justo el que tiene el otro competidor, usted, inexorablemente tiene el “2”.
Este sería el ejemplo más sencillo. Ahora, planteemos uno un poco más complicado. Supongamos que usted ve que la otra persona tiene pintado el “2”. Si usted se dejara llevar por las reglas que le fueron explicadas, en principio, lo escribo otra vez, en principio, usted no podría decir nada con certeza. Porque, en principio, usted podría tener o bien el “1”, o bien el “3”.
Sin embargo, aquí interviene otro argumento: si su rival, que es tan perfecto como usted, que razona tan rápido como usted, que puede elaborar ideas exactamente igual que usted, no dijo nada hasta ahí, es porque él no está viendo que usted tiene el “1”. Si no, él ya hubiera gritado que tiene el “2”. Pero como no dijo nada, esto significa que usted no tiene el “1”. Por lo tanto, aprovechando que él no dice nada, es usted el que habla y dice: “Yo tengo el ‘3’”.
Y cuando le pregunten, “¿y usted cómo sabe, si usted está viendo que él tiene el ‘2’?, ¿qué otros argumentos usó?”, usted contestará: “Vea, yo vi que él tenía el ‘2’, pero como él no dijo nada, esto significa que yo no tenía el ‘1’ porque, si no, él hubiera sabido inmediatamente qué número tenía”. Y punto.
Es decir, en la Teoría de Juegos, no importa solamente lo que hace usted, o lo que usted ve, sino también importa (y mucho) lo que hace el otro. Aprovechando lo que hace (o, en este caso, lo que no hizo el otro, que es también una manera de hacer), es que usted pudo concluir qué número tenía.
Ahora, podríamos seguir.
Hagamos un paso más. Si usted viera que el otro tiene un “3” en la frente, entonces eso significaría que usted tiene el “2” o el “4”. Pero si usted tuviera el “2”, y su contrincante está viendo que usted lo tiene (al “2”) pero usted no habla, no dice nada rápido, entonces esto le está indicando a él que él no tiene el “1”. Si así fuera, su rival diría, “Yo tengo el ‘3’”.Y aquí está el punto. Como él no dijo nada (su rival), eso significa que usted no tiene el “2” sino que tiene el “4”. Y usted se apura y grita: “Yo tengo el ‘4’”. Y gana.
Con esta misma idea, uno podría avanzar aún más y usar números cada vez más grandes. ¿Podrá ganar alguno entonces? La pregunta queda abierta.
Este tipo de argumentos (llamados inductivos) requieren –como se ve– de razonamientos hilvanados, finos y sutiles, pero todos comprensibles si uno no se pierde en la maraña de las letras. Le propongo, por lo tanto, que se entretenga un rato pensándolo solo.
Aunque no parezca, todo esto también es hacer matemática. La discusión queda centrada entonces en cuán rápido razonan los jugadores y cuánto tiempo debería esperar para gritar su número o hacer una declaración que se basa en lo que el otro no dijo o no declaró.
Uno podría suponer que lo que quedó aquí descripto es una paradoja, porque aparece como posible que sólo sabiendo el número del otro y con la regla de que ambos participantes tienen números consecutivos, uno pueda deducir el número propio. Lo interesante es que los datos con los que se cuenta son más de los que uno advierte en principio. Los silencios del otro, o el tiempo que tarda en no decir lo que debiera si él viera lo que usted podría tener, le están dando una información adicional a usted.
Y en algún sentido, es singular también cómo el conocimiento va cambiando con el paso del tiempo. En la vida real, uno debería aplicar también este tipo de razonamientos, que se basan no sólo en lo que uno percibe sino también en lo que hace (o no hace) el otro.
* Los ganadores del Premio Nobel de Economía 2005, el israelí Robert J. Aumann y el norteamericano Thomas C. Shelling, lo consiguieron gracias a sus aportes a la Teoría de Juegos. La propia Academia Sueca, encargada de decidir a quiénes condecora, subrayó: “¿Por qué algunos grupos de individuos, organizaciones o países tienen éxito en promover cooperaciones y otros sufren y entran en conflicto?”. Tanto Aumann como Schilling han usado en sus trabajos la Teoría de Juegos para explicar conflictos económicos como la batalla de precios y situaciones conflictivas que llevan –a algunos de ellos– a la guerra.

Schelling dijo que no conocía personalmente al coganador, pero que mientras “él se dedica a producir avances en la Teoría de Juegos, yo soy quien aprovecha lo que él hace para aplicarlo en mi trabajo. Es decir: él produce, yo uso lo que él hace”.

MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - PROBLEMAS CON SISTEMAS DE ECUACIONES

LICEO DE NUEVA PALMIRA “Dr. Medulio Pérez Fontana”
MATEMÁTICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
PARA IR ENTRANDO EN TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES

Colección de problemas
En la granja
1. En una granja se crían crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

2. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?

3. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).

4. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

5. Se quieren mezclar vino de $60 . con otro de $35 , de modo que resulte vino con un precio de $50 el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

En el instituto
6. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 preguntas sobre Matemáticas. Por cada pregunta contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

7. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?

En el centro comercial
8. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga $1530 . Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $825. No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 años. Este después de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de café y 60 de azúcar halla el precio de cada artículo. ¿Podrías llegar tú a resolver el problema?

9. Con $100 que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche semidesnatada por un total de $96. Si el paquete de leche entera cuesta $11.5 y el de semidesnatada $9. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?

10. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de patatas por $83.5 y 4 Kg de naranjas y 2 Kg de patatas por $128.5. Calcula el precio de los kilogramos de naranja y patata.

11. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azúcar a $12. Además, tiene café de dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a $75 el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a $80 el Kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?

12. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron $19625. Si los adultos pagaban $40 y los niños $15. ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron?

13. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a $800 y otros a $1200 con los que han obtenido $19200 ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?

14. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2'4 Kg de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de elaboración. Calcula el número de tartas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa.

15. Un pastelero compra dulces a $65 la unidad y bombones a $25 cada uno por un total de $585 Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si vende cada bombón a $3 más y cada pastel a $5 más de lo que le costaron perdería en total $221 ¿Cuántos pasteles y bombones compró?

Trabajando con números
16. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

17. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Hallar dicho número.

18. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6.

19. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544.

20. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95.

21. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número?

22. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.

23. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.

Contando monedas
24. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco pesos y otras de un peso. ¿Puedo tener en total $78 ?

25. Juan y Roberto comentan: Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú" Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú". ¿Cuántas monedas tienen cada uno?

26. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de $220 Las monedas son de $5 y $25 ¿Cuántas monedas hay de cada valor?

27. Tenía muchas monedas de $1 y las he cambiado por duros. Ahora tengo la misma cantidad pero 60 monedas menos. ¿Cuánto dinero tengo?

28. En la fiesta de una amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de monedas. Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos 1 moneda menos y han sobrado 17. ¿Cuantas monedas para repartía se tenía?

Asuntos de familia
29. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba $300 a cada uno le sobraba $600 y si no daba $500 le faltaba 1000. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?

30. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?

31. Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el duplo. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano?

32. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno?

33. Mi padrino tiene 80 años y me contó el otro día que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese $1000 a cada nieta y $500 a cada nieto se gastaría $6.600 ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino?

34. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?

35. La edad de mi tía, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada una?

36. Mi tío le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más que 1/7". ¿Qué edad tienen mi tío y su hija?

Obreros
37. Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando $20700. El primero le pagaba $65. diarias y el segundo $80 ¿Cuantos días trabajó para cada patrón?

38. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana $50 diarias menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero sólo 24. Si el primero ha ganado $3300 más que el segundo calcula el salario diario de cada obrero.

Cuestiones de Geometría
39. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.

40. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.

41. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.

42. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados.

43. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?

44. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?

45. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio.

46. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.

47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.

48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.

Medidas antiguas
49. En un pueblo, hace muchos años, se utilizaba, como unidades de medida de peso, la libra y la onza. Recientemente se encontró un documento del siglo pasado en el que aparecían los siguientes pasajes: "... pesando 3 libras y 4 onzas, es decir 1495 gramos..." y "... resultando 2 libras y 8 onzas, cuando el extranjero preguntó por el peso en gramos le contestaron 1150 gramos". ¿Sabrías calcular el valor, en gramos, de la libra y la onza?

50. En el mismo documento antes mencionado nos encontramos el siguiente pasaje: "... las dimensiones del mural eran 5 toesas y 3 pies de largo y 3 toesas y 5 pies de alto..." Como ese mural se conserva en la actualidad se ha medido con la máxima precisión posible: 4'82 m de largo por 2'988 m de alto. Con estos datos ¿puedes decir cuánto mide una toesa y un pie en metros?
Viajes

51. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad?

52. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?

53. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

Grifos y depósitos
54. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?

55. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?

56. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?

Relojes
57. Un reloj señala las tres en punto. A partir de esa hora, ¿a qué hora coincidirán las manecillas por primera vez?

58. Un reloj señala las tres en punto. Por tanto las manecillas del reloj forman un ángulo recto. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que formen de nuevo un ángulo recto?

59. Un reloj marca las doce horas. ¿A qué hora la manecilla que marca los minutos se encontrará otra vez con la manecilla que marca la hora?

MATEMATICA II 3º FISICO MATEMATICO - MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA

MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006)
MATEMATICA III: 3º SOCIAL ECONOMÍA (Reformulación 2006)

APLICACIONES DE LA ELIPSE

1- ¿QUÉ ES LA LITOTRICIA?
Se trata de un método no invasivo, que parte los cálculos del riñón o de la vía urinaria, en fragmentos más pequeños, para que sean eliminados por el propio organismo.Consiste en un método en el cual se generan unas ondas por fuera del cuerpo, posteriormente se dirigen al cálculo ubicado, ya sea por rayos X o por ultrasonido, las ondas de choque son generadas por una chispa, descargada bajo el agua, y un electrodo ( Bujía ) localizada dentro del reflector de una elipse(campana). Debido a esta forma de elipse o campana, al generar la chispa, todas las ondas se dirigen al cálculo, con una muy alta densidad, entonces el cálculo se fragmenta.

Desde hace veinticinco años, el tratamiento de los cálculos o “piedras” localizada en las vías urinarias, ha avanzado considerablemente. Antes era necesario realizar una cirugía mayor para extraer un pequeño cálculo, mientras que en la actualidad, sólo es necesario operar a menos del 5% de los pacientes que sufren este padecimiento y esto se debe a que, generalmente, el paciente presenta daño renal.

Existen dos formas de llevar a cabo la litotricia:

2- ¿CÓMO ACTÚAN LAS ONDAS DE CHOQUE?

Las ondas de choque consisten en un frente de presión positiva de múltiples frecuencias con un pico inmediato y un descenso gradual. A este respecto, el uso de las ondas de choque para la destrucción de cálculos renales se basa, entre otras, en las siguientes propiedades:

Cuando golpean un material quebradizo, como un cálculo renal, las ondas de choque crean un elevado gradiente de presión que causa su destrucción.

La intensidad necesaria para destruir cálculos debe ser inferior al nivel de tolerancia de los tejidos celulares, con el fin de que sólo afecte a los primeros.

Las ondas de choque pueden ser transmitidas libremente y propagadas a través del cuerpo sin originar una importante pérdida de energía cuando se usa el agua como medio de transmisión.

Además, pueden ser enfocadas con precisión si se integran en un sistema reflector apropiado (con forma de elipse).

3. LITOTRICIA RENAL EXTRACORPÓREA POR ONDAS DE CHOQUE: EL FUNCIONAMIENTO
Los litotriptores son aparatos que cuentan con un generador electromagnético que produce una onda de choque de grandes amplitudes en un foco, localizado geométricamente con rayos x.

La transmisión de las ondas de choque en medios de escasa reflexión (agua y tejidos corporales que la contienen en abundancia) no sufre casi pérdidas. Su velocidad de propagación se aproxima a la del sonido en el agua.

Al llegar la onda de choque focalizada, a zonas de densidad diferente a la del contorno (cálculos), libera en ellas energía mecánica. Éste es el fundamento de la destrucción de los cálculos mediante litotricia extracorpórea.

Descripción del procedimiento

1) El paciente es colocado en una superficie horizontal (mesa de emplazamiento).

2) Se monitorizan informáticamente los signos vitales del paciente a lo largo de todo el procedimiento: presión arterial, electrocardiograma, etc.

3) Localización del cálculo mediante un sistema radiológico de exploración. La imagen se visualiza con gran definición para lograr un enfoque preciso y milimétrico.

4) Se acopla el aplicador de ondas de choque al cuerpo del paciente y se inicia la sesión. La intensidad y duración de las ondas se controlan informáticamente, según el tamaño de los cálculos.

5) En el punto focal, previamente localizado, se descarga la onda de choque.

6) Finalmente, se comprueba por medio de una placa radiológica que los cálculos hayan sido destruidos.

http://www.wipo.int/pctdb/en/wo.jsp?IA=MX1995000008&DISPLAY=DESC

REFLECTORES MULTIFOCALES COMPUESTOS PARA CONCENTRAR ONDAS DE CHOQUE
Campo de la Invención
La presente invención se refiere a reflectores multifocales compuestos hechos por segmentos cuya forma es la de sectores y/o anillos de elipsoides de revolución que pueden ser truncados a la misma o a diferentes alturas con las mismas o diferentes distancias entre focos, o bien, con las mismas o diferentes longitudes de los semiejes de cada uno de los segmentos que conforman a dichos reflectores, pudiéndose dar el caso de que con la unión de más de tres segmentos para formar al reflector, algunos segmentos sean iguales, o bien, que con la unión de más de dos segmentos, algunos provengan del mismo elipsoide de revolución. Obviamente, si el reflector está formado únicamente por segmentos anulares o anillos, el reflector multifocal compuesto resultante será simétrico con respecto al eje de simetría de los segmentos que lo componen. Dichos reflectores multifocales compuestos, sectoriales o anulares, sirven por ejemplo, para concentrar ondas de choque producidas por dispositivos que actualmente emplean reflectores con forma de elipsoides de revolución para concentrarlas, lo que posibilita, entre otras aplicaciones, la desintegración más eficiente de ciertos objetos frágiles, como por ejemplo los cálculos renales, es decir, al usar los reflectores multifocales compuestos en los equipos clínicos de litotripsia extracorporal existentes, se podrían fracturar con un menor número de ondas de choque. Antecedentes de la Invención
En el año de 1980, en Munich, Alemania, se practicó la primera litotripsia extracorporal (también denominada litotricia extracorpórea) por ondas de choque, esto es, desintegración de cálculos renales con un método no invasivo. Actualmente existen varias compañías que ofrecen litotriptores (también denominados litotriptores) extracorporales, nombre que se da a los aparatos que pulverizan cálculos renales o biliares con ondas de choque. La idea fundamental es generar ondas de choque fuera del cuerpo humano, hacerlas pasar por él con un mínimo de pérdidas de energía y concentrarlas sobre el cálculo, creando con ello, una serie de esfuerzos que originan la ruptura del cálculo en varios fragmentos pequeños, que posteriormente puedan ser eliminados por el paciente. Hoy en día, hay en el mundo más de un millar de litotriptores extracorporales para desintegrar cálculos renales, biliares e incluso salivales. Existen litotriptores extracorporales que generan ondas de choque por diferentes métodos, como el electrohidráulico, el electroconductivo, el electromagnético, el piezoeléctrico y el de microexplosivos.
En los dispositivos electrohidráulicos y en los electroconductivos, por ejemplo, se generan descargas eléctricas de alto voltaje (decenas de miles de voltios) entre dos electrodos sumergidos en agua u otro líquido adecuado, lo cual forma un pequeño canal de agua evaporada o de algún otro líquido también evaporado (plasma) que se expande súbitamente, comprimiendo el medio circundante en forma semejante a lo que ocurre en la explosión de una bomba. Esto genera una onda de compresión que después de propagarse unos cuantos centímetros en el agua se transforma en una onda de choque, que es una discontinuidad de presión que se propaga como onda esférica por el medio. Los litotriptores microexplosivos usan pequeñas cargas explosivas para producir el mismo efecto.
En los litotriptores electrohidráulicos, electroconductivos y microexplosivos, una componente importante es el reflector con geometría de elipsoide de revolución truncado. Este reflector puede estar hecho de latón o de algún otro material con propiedades mecánicas similares. Su función es concentrar en el segundo foco (F2) las ondas de choque generadas en el primer foco (Fl) del elipsoide de revolución, o sea en el foco más cercano al reflector, lo cual genera una región de máxima energía en la vecindad del segundo foco (F2) o sea en el foco más lejano a la superficie interna del reflector.
El segundo foco, en el que no se generan las ondas, deberá coincidir con el objeto que se desee desintegrar, como por ejemplo un cálculo renal. En los equipos clínicos de litotripsia extracorporal, la coincidencia del objeto con el segundo foco del elipsoide se logra por medio de un sistema de fluoroscopía y/o por medio de un equipo de ultrasonido.
-->A la fecha todos los litotriptores electrohidráulicos, los electroconductivos y los de microexplosivos usan reflectores en forma de elipsoides de revolución truncados en uno de sus extremos. La simetría de revolución de estos reflectores es con respecto al eje mayor del elipsoide.
En los reflectores convencionales con forma de elipsdoide de revolución, las ondas de choque generadas en el primer foco (Fl) , se concentran necesariamente en fase, temporal y espacial, en el segundo foco (F2) . Esto, como se verá, es una limitante.
Es por lo tanto objeto de la presente invención proporcionar un nuevo arreglo, llamado reflector multifocal compuesto, con la característica de que está formado por segmentos de elipsoides de revolución, con las mismas o diferentes longitudes de los semiejes y con las mismas o diferentes distancias focales de cada uno de los segmentos de elipsoides de revolución.
-->Otro objeto de la presente invención es proporcionar un arreglo novedoso en el que al generarse ondas de choque en el reflector multifocal compuesto, estas ondas se desfasan tanto en el espacio como en el tiempo, generando con ésto, torcas y esfuerzos en cualquier objeto colocado en el sitio indicado (F2, F2 ' , F2 '', ...) , con lo que se obtiene una mayor eficiencia para desintegrarlos.