MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Introducción a la Programación Lineal:
Se buscan soluciones

En el mundo en el que vivimos cada vez más se hace necesario desarrollar técnicas que nos permitan gestionar el funcionamiento de una compañía aérea asegurando eficacia y rentabilidad, buscarlos mejores canales de distribución para los productos de una multinacional, encontrar la composición ideal para un alimento para el ganado, planificar la producción de una fábrica o decidir medidas para el ahorro energético de grandes empresas.

Aún cuando la programación lineal surgió especialmente para dar respuesta a cuestiones de carácter logísitco y militar, es en la industria y en la economía donde posteriormente ha encontrado sus aplicaciones más interesantes.
En los problemas prácticos con los que nos encontramos en el mundo actual intervienen multitud de factores (materia prima, mano de obra, transporte, recursos disponibles, niveles económicos, tiempo, etc.) sujetos a múltiples restricciones, con los que se desea obtener unos beneficios máximos o unos costos mínimos.

Detrás de todas estas situaciones se esconde un problema de optimización. Encontrar una solución óptima significa hallar la mejor solución a un problema sujeto a restricciones. En el caso de la multinacional, se trataría de minimizar el gasto derivado de la distribución de los productos y las restricciones serían por ejemplo el tiempo de entrega, cubrir una zona determinada, etc.
Si hablamos del diseño de la producción de la fábrica, se trataría de maximizar las ganancias; las restricciones serían la materia prima disponible, las exigencias del mercado, etc. En todos ellos, las restricciones se pueden traducir en inecuaciones lineales y lo que se va a minimizar o maximizar en una función lineal.

La programación lineal es un sistema matemático de resolución de problemas muy empleado por ingenieros, hombres de empresa, economistas, etc., que aplican la matemática para resolver problemas concretos. De una manera intuitiva, todos nosotros empleamos la programación lineal para resolver problemas, aunque no vendría nada mal aprender a hacerlo de manera sistemática como hacen los profesionales antes aludidos.

Un problema de programación lineal para dos variables consiste en:
1) Optimizar( maximizar i minimizar) una función lineal a la que llamaremos Función Objetivo.
2) Esa Función Objetivo está sujeta a restricciones, dadas mediante inecuaciones lineales.

Cada desigualdad anterior determina un semiplano. El conjunto de los puntos que cumplen todas las desigualdades determinan un recinto, acotado o no, que llamaremos Región Factible.
Se llama solución óptima a una solución factible que optimice la Función Objetivo.
El teorema fundamental de la programación lineal dice que la solución óptima se encuentra siempre en la frontera de la región factible.

Veamos dos ejemplos:
Ejemplo 1:Problema de máximos.
En una granja se preparan dos clases de alimentos para el ganado: P y Q, mezclando dos productos A y B. Una bolsa de P contiene 8 Kg de A y 2 Kg de B, y una bolsa de Q contiene 10 Kg de A y 5 Kg de B. Cada bolsa de P se vende a $300 y cada bolsa de Q se vende a $800. Si en la granja hay almacenados 80 Kg de A y 25 Kg de B ¿Cuántas bolsas de cada tipo de alimento para ganado deben prepararse para obtener los máximos ingresos?

Ejemplo 2: Problema de mínimos
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a Frutilla o Durazno. Se decide repartir al menos 30000 yogures en el departamento de Colonia.
Cada yogur de Frutilla necesita para su elaboración 0,5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de Durazno necesita 0,2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 Kg. De este producto para fermentación.
El costo de producción de un yogur de Frutilla es de$3 y $2 para uno de Durazno.