Números grandes, por Adrián Paenza
Si nos pusiéramos en fila, ocupando cada persona una baldosa de 30 centímetros cuadrados, la humanidad entera formaría una cola de casi 2.000.000 (dos millones) de kilómetros, que nos permitiría dar casi 50 vueltas al globo alrededor del Ecuador.
¿Números grandes? Sí. Grandes. Difíciles de imaginar. Uno escucha que las deudas externas se manejan en miles de millones de dólares, que las estrellas en el cielo están a años luz de la Tierra, que la molécula de ADN contiene 3 mil millones de nucleótidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis mil grados centígrados, etc. Estoy seguro de que cada uno que esté leyendo este párrafo tiene sus propios ejemplos para agregar.
Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas, contrastarlas con algo que me sea más fácil representar, ponerlas en perspectiva.
Por ejemplo, si yo le preguntara: ¿cuál es la diferencia que hay entre un millón y mil millones, usted qué contestaría? Ya sé: su primera reacción sería decir: “tres ceros”. Bien. Es cierto. Pero, ¿qué significan tres ceros en este caso? Si los convirtiéramos en segundos, ¿qué diferencia hay entre un millón y mil millones de segundos?
Tengo claro que uno puede hacer la cuenta y darse cuenta, pero la idea no es ésa. La idea es tratar de comprender si uno, internamente, tiene conceptualizada esa diferencia como para imaginarla en términos del tiempo. Y ahí es donde creo que –en general– nosotros no tenemos noción clara de cuán grandes son ciertos números, a pesar de que los usamos todos los días.
Ahora respondo la pregunta: un millón de segundos son un poco más de 11 (once) días y medio. En cambio, mil millones de segundos son casi ¡32 (treinta y dos) años! Es decir, la diferencia es abismal. No tengo claro que cuando uno responde “tres ceros” tenga noción de la “real” diferencia que hay entre un millón y mil millones.
Otro ejemplo: en el mundo hay más de seis mil seiscientos millones de personas. Parece que somos muchos. Pero, ¿qué quiere decir “muchos”? Si pusieran fotos de todos nosotros en un libro, de manera que las hojas fueran de una décima de milímetro de espesor, colocando diez personas por página y utilizando las dos caras de la hoja... el libro tendría más de ¡33 (treinta y tres) kilómetros de alto!
Además, si una persona tardara un segundo por página para recorrer las diez fotos que hay allí, y le dedicara 16 horas diarias, le llevaría casi 31 años mirarlas todas. Peor aún: cuando llegara al final, en el año 2038, el libro ya habría aumentado su tamaño, porque ya seríamos dos mil doscientos millones de personas más y el libro tendría otros 11 (once) kilómetros más de espesor.
Si nos pusiéramos en fila, ocupando cada persona una baldosa de 30 centímetros cuadrados, la humanidad entera formaría una cola de casi 2.000.000 (dos millones) de kilómetros, que nos permitiría dar casi 50 vueltas al globo alrededor del Ecuador.
Y si filmáramos una película con cada persona como “estrella” y apareciendo sólo 15 segundos en pantalla (o sea, un poco menos de siete metros de celuloide por humano), se necesitarían unos ¡46 millones de kilómetros de negativo! Además, si alguien quisiera verla (a la película), se tendría que sentar en el cine por más de 27 millones de horas, o lo que es lo mismo, más de 1.152.000 días, lo que significa unos 3.158 años. Y esto sucedería siempre que esta persona decidiera no dormir, comer ni hacer ninguna otra cosa en la vida.
Como último ejemplo, uno escucha hablar de “años luz”. ¿Usted pensó lo que significa? En realidad, un año luz es una medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz tarda un año en recorrer. Recuerdo aquí que la luz viaja a 300.000 kilómetros ¡por segundo! El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en minutos) es 18.000.000 kilómetros por minuto. Luego, nuevamente multiplicando por 60, lo transforma en 1.080.000.000 kilómetros por hora (mil ochenta millones de kilómetros por hora). Multiplicando por 24, resulta que la luz viajó 25 mil millones de kilómetros en un día. Finalmente, multiplicando por 365 días, un año luz (o sea, la distancia que la luz viaja por año) es de (aproximadamente) 9.460.000.000.000 (casi 9 billones y medio) de kilómetros. De manera tal que cada vez que le pregunten cuánto es un año luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi nueve billones y medio de kilómetros.
En todo caso, la reflexión final es que los números serán todo lo grandes que quiera pero nosotros, los humanos... “somos muchos” y los objetos en el espacio... “están muy, muy lejos”.
lunes, 22 de marzo de 2010
NUMEROS I
El juego de los números naturales Por Adrián Paenza
Ahora que se ha puesto de moda hablar sobre La Teoría de Juegos*, vale la pena plantear alguno de los problemas más característicos y atractivos que hay. El que sigue, justamente, es un desafío precioso y sutil. Es, además, muy interesante para pensar.
Supongamos que hay dos personas que van a jugar al siguiente juego. A cada uno de ellos se le va a colocar en la frente un número natural (es decir, se llaman naturales los números 1, 2, 3, 4, 5... etcétera). Sin embargo, la particularidad es que los números van a ser consecutivos. Por ejemplo, el 14 y el 15, o el 173 y el 174, o el 399 y el 400.
Obviamente, no se les dice qué número tiene cada uno, pero cada uno, a su vez, puede ver el número del otro. Gana el juego aquel que es capaz de decir qué número tiene escrito en la frente, pero dando una explicación de por qué dice lo que dice.
Se supone que ambos jugadores razonan perfectamente y sin errores, y esto es un dato no menor: saber que los dos jugadores tienen la misma capacidad de razonamiento y que no cometen errores es crucial para el juego (aunque no lo parezca).
La pregunta es: ¿es posible que alguno de los dos competidores pueda ganar el juego? Es decir, ¿podrá en algún momento uno de ellos decir “yo sé que mi número es ‘n’”?
Por ejemplo: si usted jugara contra otra persona, y usted viera que en la frente de su rival hay pintado un número “1”, su reacción debería ser inmediata. Ya ganó, porque usted podría decir: “Tengo el ‘2’”. Usted puede afirmar con certeza que su número es el “2”, porque como no hay números más chicos que 1 y ése es justo el que tiene el otro competidor, usted, inexorablemente tiene el “2”.
Este sería el ejemplo más sencillo. Ahora, planteemos uno un poco más complicado. Supongamos que usted ve que la otra persona tiene pintado el “2”. Si usted se dejara llevar por las reglas que le fueron explicadas, en principio, lo escribo otra vez, en principio, usted no podría decir nada con certeza. Porque, en principio, usted podría tener o bien el “1”, o bien el “3”.
Sin embargo, aquí interviene otro argumento: si su rival, que es tan perfecto como usted, que razona tan rápido como usted, que puede elaborar ideas exactamente igual que usted, no dijo nada hasta ahí, es porque él no está viendo que usted tiene el “1”. Si no, él ya hubiera gritado que tiene el “2”. Pero como no dijo nada, esto significa que usted no tiene el “1”. Por lo tanto, aprovechando que él no dice nada, es usted el que habla y dice: “Yo tengo el ‘3’”.
Y cuando le pregunten, “¿y usted cómo sabe, si usted está viendo que él tiene el ‘2’?, ¿qué otros argumentos usó?”, usted contestará: “Vea, yo vi que él tenía el ‘2’, pero como él no dijo nada, esto significa que yo no tenía el ‘1’ porque, si no, él hubiera sabido inmediatamente qué número tenía”. Y punto.
Es decir, en la Teoría de Juegos, no importa solamente lo que hace usted, o lo que usted ve, sino también importa (y mucho) lo que hace el otro. Aprovechando lo que hace (o, en este caso, lo que no hizo el otro, que es también una manera de hacer), es que usted pudo concluir qué número tenía.
Ahora, podríamos seguir.
Hagamos un paso más. Si usted viera que el otro tiene un “3” en la frente, entonces eso significaría que usted tiene el “2” o el “4”. Pero si usted tuviera el “2”, y su contrincante está viendo que usted lo tiene (al “2”) pero usted no habla, no dice nada rápido, entonces esto le está indicando a él que él no tiene el “1”. Si así fuera, su rival diría, “Yo tengo el ‘3’”.Y aquí está el punto. Como él no dijo nada (su rival), eso significa que usted no tiene el “2” sino que tiene el “4”. Y usted se apura y grita: “Yo tengo el ‘4’”. Y gana.
Con esta misma idea, uno podría avanzar aún más y usar números cada vez más grandes. ¿Podrá ganar alguno entonces? La pregunta queda abierta.
Este tipo de argumentos (llamados inductivos) requieren –como se ve– de razonamientos hilvanados, finos y sutiles, pero todos comprensibles si uno no se pierde en la maraña de las letras. Le propongo, por lo tanto, que se entretenga un rato pensándolo solo.
Aunque no parezca, todo esto también es hacer matemática. La discusión queda centrada entonces en cuán rápido razonan los jugadores y cuánto tiempo debería esperar para gritar su número o hacer una declaración que se basa en lo que el otro no dijo o no declaró.
Uno podría suponer que lo que quedó aquí descripto es una paradoja, porque aparece como posible que sólo sabiendo el número del otro y con la regla de que ambos participantes tienen números consecutivos, uno pueda deducir el número propio. Lo interesante es que los datos con los que se cuenta son más de los que uno advierte en principio. Los silencios del otro, o el tiempo que tarda en no decir lo que debiera si él viera lo que usted podría tener, le están dando una información adicional a usted.
Y en algún sentido, es singular también cómo el conocimiento va cambiando con el paso del tiempo. En la vida real, uno debería aplicar también este tipo de razonamientos, que se basan no sólo en lo que uno percibe sino también en lo que hace (o no hace) el otro.
* Los ganadores del Premio Nobel de Economía 2005, el israelí Robert J. Aumann y el norteamericano Thomas C. Shelling, lo consiguieron gracias a sus aportes a la Teoría de Juegos. La propia Academia Sueca, encargada de decidir a quiénes condecora, subrayó: “¿Por qué algunos grupos de individuos, organizaciones o países tienen éxito en promover cooperaciones y otros sufren y entran en conflicto?”. Tanto Aumann como Schilling han usado en sus trabajos la Teoría de Juegos para explicar conflictos económicos como la batalla de precios y situaciones conflictivas que llevan –a algunos de ellos– a la guerra.
Schelling dijo que no conocía personalmente al coganador, pero que mientras “él se dedica a producir avances en la Teoría de Juegos, yo soy quien aprovecha lo que él hace para aplicarlo en mi trabajo. Es decir: él produce, yo uso lo que él hace”.
Ahora que se ha puesto de moda hablar sobre La Teoría de Juegos*, vale la pena plantear alguno de los problemas más característicos y atractivos que hay. El que sigue, justamente, es un desafío precioso y sutil. Es, además, muy interesante para pensar.
Supongamos que hay dos personas que van a jugar al siguiente juego. A cada uno de ellos se le va a colocar en la frente un número natural (es decir, se llaman naturales los números 1, 2, 3, 4, 5... etcétera). Sin embargo, la particularidad es que los números van a ser consecutivos. Por ejemplo, el 14 y el 15, o el 173 y el 174, o el 399 y el 400.
Obviamente, no se les dice qué número tiene cada uno, pero cada uno, a su vez, puede ver el número del otro. Gana el juego aquel que es capaz de decir qué número tiene escrito en la frente, pero dando una explicación de por qué dice lo que dice.
Se supone que ambos jugadores razonan perfectamente y sin errores, y esto es un dato no menor: saber que los dos jugadores tienen la misma capacidad de razonamiento y que no cometen errores es crucial para el juego (aunque no lo parezca).
La pregunta es: ¿es posible que alguno de los dos competidores pueda ganar el juego? Es decir, ¿podrá en algún momento uno de ellos decir “yo sé que mi número es ‘n’”?
Por ejemplo: si usted jugara contra otra persona, y usted viera que en la frente de su rival hay pintado un número “1”, su reacción debería ser inmediata. Ya ganó, porque usted podría decir: “Tengo el ‘2’”. Usted puede afirmar con certeza que su número es el “2”, porque como no hay números más chicos que 1 y ése es justo el que tiene el otro competidor, usted, inexorablemente tiene el “2”.
Este sería el ejemplo más sencillo. Ahora, planteemos uno un poco más complicado. Supongamos que usted ve que la otra persona tiene pintado el “2”. Si usted se dejara llevar por las reglas que le fueron explicadas, en principio, lo escribo otra vez, en principio, usted no podría decir nada con certeza. Porque, en principio, usted podría tener o bien el “1”, o bien el “3”.
Sin embargo, aquí interviene otro argumento: si su rival, que es tan perfecto como usted, que razona tan rápido como usted, que puede elaborar ideas exactamente igual que usted, no dijo nada hasta ahí, es porque él no está viendo que usted tiene el “1”. Si no, él ya hubiera gritado que tiene el “2”. Pero como no dijo nada, esto significa que usted no tiene el “1”. Por lo tanto, aprovechando que él no dice nada, es usted el que habla y dice: “Yo tengo el ‘3’”.
Y cuando le pregunten, “¿y usted cómo sabe, si usted está viendo que él tiene el ‘2’?, ¿qué otros argumentos usó?”, usted contestará: “Vea, yo vi que él tenía el ‘2’, pero como él no dijo nada, esto significa que yo no tenía el ‘1’ porque, si no, él hubiera sabido inmediatamente qué número tenía”. Y punto.
Es decir, en la Teoría de Juegos, no importa solamente lo que hace usted, o lo que usted ve, sino también importa (y mucho) lo que hace el otro. Aprovechando lo que hace (o, en este caso, lo que no hizo el otro, que es también una manera de hacer), es que usted pudo concluir qué número tenía.
Ahora, podríamos seguir.
Hagamos un paso más. Si usted viera que el otro tiene un “3” en la frente, entonces eso significaría que usted tiene el “2” o el “4”. Pero si usted tuviera el “2”, y su contrincante está viendo que usted lo tiene (al “2”) pero usted no habla, no dice nada rápido, entonces esto le está indicando a él que él no tiene el “1”. Si así fuera, su rival diría, “Yo tengo el ‘3’”.Y aquí está el punto. Como él no dijo nada (su rival), eso significa que usted no tiene el “2” sino que tiene el “4”. Y usted se apura y grita: “Yo tengo el ‘4’”. Y gana.
Con esta misma idea, uno podría avanzar aún más y usar números cada vez más grandes. ¿Podrá ganar alguno entonces? La pregunta queda abierta.
Este tipo de argumentos (llamados inductivos) requieren –como se ve– de razonamientos hilvanados, finos y sutiles, pero todos comprensibles si uno no se pierde en la maraña de las letras. Le propongo, por lo tanto, que se entretenga un rato pensándolo solo.
Aunque no parezca, todo esto también es hacer matemática. La discusión queda centrada entonces en cuán rápido razonan los jugadores y cuánto tiempo debería esperar para gritar su número o hacer una declaración que se basa en lo que el otro no dijo o no declaró.
Uno podría suponer que lo que quedó aquí descripto es una paradoja, porque aparece como posible que sólo sabiendo el número del otro y con la regla de que ambos participantes tienen números consecutivos, uno pueda deducir el número propio. Lo interesante es que los datos con los que se cuenta son más de los que uno advierte en principio. Los silencios del otro, o el tiempo que tarda en no decir lo que debiera si él viera lo que usted podría tener, le están dando una información adicional a usted.
Y en algún sentido, es singular también cómo el conocimiento va cambiando con el paso del tiempo. En la vida real, uno debería aplicar también este tipo de razonamientos, que se basan no sólo en lo que uno percibe sino también en lo que hace (o no hace) el otro.
* Los ganadores del Premio Nobel de Economía 2005, el israelí Robert J. Aumann y el norteamericano Thomas C. Shelling, lo consiguieron gracias a sus aportes a la Teoría de Juegos. La propia Academia Sueca, encargada de decidir a quiénes condecora, subrayó: “¿Por qué algunos grupos de individuos, organizaciones o países tienen éxito en promover cooperaciones y otros sufren y entran en conflicto?”. Tanto Aumann como Schilling han usado en sus trabajos la Teoría de Juegos para explicar conflictos económicos como la batalla de precios y situaciones conflictivas que llevan –a algunos de ellos– a la guerra.
Schelling dijo que no conocía personalmente al coganador, pero que mientras “él se dedica a producir avances en la Teoría de Juegos, yo soy quien aprovecha lo que él hace para aplicarlo en mi trabajo. Es decir: él produce, yo uso lo que él hace”.
viernes, 12 de marzo de 2010
MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - PROBLEMAS CON SISTEMAS DE ECUACIONES
LICEO DE NUEVA PALMIRA “Dr. Medulio Pérez Fontana”
MATEMÁTICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
PARA IR ENTRANDO EN TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES
Colección de problemas
En la granja
1. En una granja se crían crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
2. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?
3. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).
4. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
5. Se quieren mezclar vino de $60 . con otro de $35 , de modo que resulte vino con un precio de $50 el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?
En el instituto
6. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 preguntas sobre Matemáticas. Por cada pregunta contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?
7. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?
En el centro comercial
8. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga $1530 . Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $825. No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 años. Este después de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de café y 60 de azúcar halla el precio de cada artículo. ¿Podrías llegar tú a resolver el problema?
9. Con $100 que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche semidesnatada por un total de $96. Si el paquete de leche entera cuesta $11.5 y el de semidesnatada $9. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?
10. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de patatas por $83.5 y 4 Kg de naranjas y 2 Kg de patatas por $128.5. Calcula el precio de los kilogramos de naranja y patata.
11. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azúcar a $12. Además, tiene café de dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a $75 el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a $80 el Kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?
12. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron $19625. Si los adultos pagaban $40 y los niños $15. ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron?
13. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a $800 y otros a $1200 con los que han obtenido $19200 ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?
14. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2'4 Kg de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de elaboración. Calcula el número de tartas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa.
15. Un pastelero compra dulces a $65 la unidad y bombones a $25 cada uno por un total de $585 Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si vende cada bombón a $3 más y cada pastel a $5 más de lo que le costaron perdería en total $221 ¿Cuántos pasteles y bombones compró?
Trabajando con números
16. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.
17. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Hallar dicho número.
18. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6.
19. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544.
20. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95.
21. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número?
22. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.
23. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.
Contando monedas
24. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco pesos y otras de un peso. ¿Puedo tener en total $78 ?
25. Juan y Roberto comentan: Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú" Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú". ¿Cuántas monedas tienen cada uno?
26. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de $220 Las monedas son de $5 y $25 ¿Cuántas monedas hay de cada valor?
27. Tenía muchas monedas de $1 y las he cambiado por duros. Ahora tengo la misma cantidad pero 60 monedas menos. ¿Cuánto dinero tengo?
28. En la fiesta de una amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de monedas. Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos 1 moneda menos y han sobrado 17. ¿Cuantas monedas para repartía se tenía?
Asuntos de familia
29. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba $300 a cada uno le sobraba $600 y si no daba $500 le faltaba 1000. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?
30. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?
31. Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el duplo. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano?
32. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno?
33. Mi padrino tiene 80 años y me contó el otro día que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese $1000 a cada nieta y $500 a cada nieto se gastaría $6.600 ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino?
34. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?
35. La edad de mi tía, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada una?
36. Mi tío le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más que 1/7". ¿Qué edad tienen mi tío y su hija?
Obreros
37. Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando $20700. El primero le pagaba $65. diarias y el segundo $80 ¿Cuantos días trabajó para cada patrón?
38. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana $50 diarias menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero sólo 24. Si el primero ha ganado $3300 más que el segundo calcula el salario diario de cada obrero.
Cuestiones de Geometría
39. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.
40. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.
41. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.
42. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados.
43. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?
44. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?
45. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio.
46. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.
47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.
48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.
Medidas antiguas
49. En un pueblo, hace muchos años, se utilizaba, como unidades de medida de peso, la libra y la onza. Recientemente se encontró un documento del siglo pasado en el que aparecían los siguientes pasajes: "... pesando 3 libras y 4 onzas, es decir 1495 gramos..." y "... resultando 2 libras y 8 onzas, cuando el extranjero preguntó por el peso en gramos le contestaron 1150 gramos". ¿Sabrías calcular el valor, en gramos, de la libra y la onza?
50. En el mismo documento antes mencionado nos encontramos el siguiente pasaje: "... las dimensiones del mural eran 5 toesas y 3 pies de largo y 3 toesas y 5 pies de alto..." Como ese mural se conserva en la actualidad se ha medido con la máxima precisión posible: 4'82 m de largo por 2'988 m de alto. Con estos datos ¿puedes decir cuánto mide una toesa y un pie en metros?
Viajes
51. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad?
52. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?
53. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
Grifos y depósitos
54. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?
55. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?
56. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?
Relojes
57. Un reloj señala las tres en punto. A partir de esa hora, ¿a qué hora coincidirán las manecillas por primera vez?
58. Un reloj señala las tres en punto. Por tanto las manecillas del reloj forman un ángulo recto. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que formen de nuevo un ángulo recto?
59. Un reloj marca las doce horas. ¿A qué hora la manecilla que marca los minutos se encontrará otra vez con la manecilla que marca la hora?
MATEMÁTICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
PARA IR ENTRANDO EN TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES
Colección de problemas
En la granja
1. En una granja se crían crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?
2. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?
3. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).
4. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
5. Se quieren mezclar vino de $60 . con otro de $35 , de modo que resulte vino con un precio de $50 el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?
En el instituto
6. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 preguntas sobre Matemáticas. Por cada pregunta contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?
7. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?
En el centro comercial
8. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga $1530 . Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $825. No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 años. Este después de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de café y 60 de azúcar halla el precio de cada artículo. ¿Podrías llegar tú a resolver el problema?
9. Con $100 que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche semidesnatada por un total de $96. Si el paquete de leche entera cuesta $11.5 y el de semidesnatada $9. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?
10. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de patatas por $83.5 y 4 Kg de naranjas y 2 Kg de patatas por $128.5. Calcula el precio de los kilogramos de naranja y patata.
11. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azúcar a $12. Además, tiene café de dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a $75 el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a $80 el Kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?
12. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron $19625. Si los adultos pagaban $40 y los niños $15. ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron?
13. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a $800 y otros a $1200 con los que han obtenido $19200 ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?
14. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2'4 Kg de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de elaboración. Calcula el número de tartas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa.
15. Un pastelero compra dulces a $65 la unidad y bombones a $25 cada uno por un total de $585 Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si vende cada bombón a $3 más y cada pastel a $5 más de lo que le costaron perdería en total $221 ¿Cuántos pasteles y bombones compró?
Trabajando con números
16. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.
17. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Hallar dicho número.
18. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6.
19. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544.
20. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95.
21. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número?
22. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.
23. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.
Contando monedas
24. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco pesos y otras de un peso. ¿Puedo tener en total $78 ?
25. Juan y Roberto comentan: Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú" Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú". ¿Cuántas monedas tienen cada uno?
26. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de $220 Las monedas son de $5 y $25 ¿Cuántas monedas hay de cada valor?
27. Tenía muchas monedas de $1 y las he cambiado por duros. Ahora tengo la misma cantidad pero 60 monedas menos. ¿Cuánto dinero tengo?
28. En la fiesta de una amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de monedas. Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos 1 moneda menos y han sobrado 17. ¿Cuantas monedas para repartía se tenía?
Asuntos de familia
29. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba $300 a cada uno le sobraba $600 y si no daba $500 le faltaba 1000. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?
30. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?
31. Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el duplo. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano?
32. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno?
33. Mi padrino tiene 80 años y me contó el otro día que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese $1000 a cada nieta y $500 a cada nieto se gastaría $6.600 ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino?
34. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?
35. La edad de mi tía, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada una?
36. Mi tío le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más que 1/7". ¿Qué edad tienen mi tío y su hija?
Obreros
37. Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando $20700. El primero le pagaba $65. diarias y el segundo $80 ¿Cuantos días trabajó para cada patrón?
38. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana $50 diarias menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero sólo 24. Si el primero ha ganado $3300 más que el segundo calcula el salario diario de cada obrero.
Cuestiones de Geometría
39. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.
40. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.
41. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.
42. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados.
43. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?
44. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?
45. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio.
46. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.
47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.
48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.
Medidas antiguas
49. En un pueblo, hace muchos años, se utilizaba, como unidades de medida de peso, la libra y la onza. Recientemente se encontró un documento del siglo pasado en el que aparecían los siguientes pasajes: "... pesando 3 libras y 4 onzas, es decir 1495 gramos..." y "... resultando 2 libras y 8 onzas, cuando el extranjero preguntó por el peso en gramos le contestaron 1150 gramos". ¿Sabrías calcular el valor, en gramos, de la libra y la onza?
50. En el mismo documento antes mencionado nos encontramos el siguiente pasaje: "... las dimensiones del mural eran 5 toesas y 3 pies de largo y 3 toesas y 5 pies de alto..." Como ese mural se conserva en la actualidad se ha medido con la máxima precisión posible: 4'82 m de largo por 2'988 m de alto. Con estos datos ¿puedes decir cuánto mide una toesa y un pie en metros?
Viajes
51. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad?
52. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?
53. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
Grifos y depósitos
54. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?
55. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?
56. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?
Relojes
57. Un reloj señala las tres en punto. A partir de esa hora, ¿a qué hora coincidirán las manecillas por primera vez?
58. Un reloj señala las tres en punto. Por tanto las manecillas del reloj forman un ángulo recto. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que formen de nuevo un ángulo recto?
59. Un reloj marca las doce horas. ¿A qué hora la manecilla que marca los minutos se encontrará otra vez con la manecilla que marca la hora?
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