domingo, 1 de mayo de 2011

MATEMATICA IV 3º MATEMATICA y DISEÑO: ACTIVIDAD 3 y MATEMATICA II: FISICO MATEMATICA ACTIVIDAD Nº 6

MATEMATICA IV: 3º MATEMÁTICA Y DISEÑO (Reformulación 2006) ACTIVIDAD Nº 3
MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006) ACTIVIDAD Nº6

GEOMETRÍA DEL ESPACIO – Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
CONSTRUYE UN OMNIPOLIEDRO:














Otras páginas para ampliar información:




http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html
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Objetivo: Lo que pretendemos en esta actividad es construir un Omnipoliedro.
¿Qué es? Es un cuerpo geométrico en el que se inscriben los cinco sólidos platónicos. De dentro hacia afuera el orden de los poliedros, en nuestra construcción, será: octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro.




¿Cómo lo vamos a hacer?
El material que vamos a utilizar es:
 Varillas de madera u otro material que consigas
 Hilo de pescar u otro
 Cáncamos (uniones).
 Pintura de diversos colores.

A continuación tenemos que calcular la longitud de las distintas aristas, para ello tomaremos como base la arista del cubo, por ejemplo tomemos un cubo de arista 20 cm.





Cálculo de la longitud de las aristas
Vamos a calcular la arista del tetraedro, la siguiente imagen nos puede servir para calcularla:
























Calculamos ahora la arista del octaedro, utiliza esta imagen:

Para obtener la arista del dodecaedro:


La arista del icosaedro es igual que la arista del cubo (su cálculo es bastante complicado).








Debes decidir el color de cada poliedro:
El color es otro de los aspectos importantes de esta construcción. Se ha utilizado para distinguir el armazón de cada poliedro de los otros cuatro. De esta forma resaltarán las propiedades específicas de cada uno a la vez que se ponen de manifiesto las relaciones con los demás: planos de simetría, ejes de rotación, dualidad, etc.
Para la elección de los colores se han tenido en cuenta dos factores. En primer lugar la simbología clásica de los poliedros reseñada en el capítulo 1, ya desde la Grecia Clásica se relacionaban los poliedros con los elementos de la materia: el fuego, la tierra, el aire y el mar, junto con el universo.
Platón (s.V a.c.) asignó a cada poliedro regular uno de los elementos que constituían la materia en su obra Timeo:
TETRAEDRO: EL FUEGO tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo.
OCTAEDRO: Para los griegos EL AIRE, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros.
HEXAEDRO (CUBO): Los filósofos griegos consideraban que LA TIERRA debe tener la forma del cubo, el sólido más estable de los cinco. El cubo es usado en la cristalización de algunos minerales como la galena.
ICOSAEDRO: El AGUA, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar
DODECAEDRO: Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con EL UNIVERSO como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos



En segundo lugar se ha atendido a la distinta luminosidad de los colores, que depende la estructura espectral de la luz reflejada por el pigmento. La idea básica es compensar los colores que menos van a aparecer con la elección de un color de mayor luminosidad que los haga resaltar. Se ha estudiado el porcentaje que suponen las barras de cada poliedro respecto del total de la composición. Para los cálculos se ha tomado la arista del cubo de 1 m de longitud aunque los resultados son válidos para cualquier tamaño.



























Construcción: Ahora que ya sabes cuantas varillas necesitas de cada color las cortas e insertas los cáncamos (uniones). Debes hacer la varilla un poco más corta de modo que entre la longitud de la varilla y la de los dos cáncamos obtengas la longitud que tienes en la tabla. Las pintas según los colores que hayas elegido y las dejas secar.
Montaje Vamos a montar el Omnipoliedro. Con el hilo de pescar unimos las varillas en los correspondientes vértices siguiendo el siguiente esquema:
1. En primer lugar construye el tetraedro.
2. Si construyes también el cubo, verás como la estructura no se mantiene rígida, para darle rigidez, vamos a inscribirle el tetraedro (los vértices del tetraedro deben coincidir con vértices del cubo).
3. Para encajar el octaedro señala los puntos medios de las varillas del tetraedro, ahí tendrán que estar los vértices del octaedro. Ya tenemos tres de las figuras encajadas.
4. Construir el dodecaedro es bastante complicado, utiliza la estructura anterior y ten en cuenta que las aristas del cubo deben coincidir con diagonales de los pentágonos que forman el dodecaedro, ya tenemos cuatro de los cuerpos encajados, pero en esta construcción el dodecaedro aún no esta rígido.
5. Vamos a construir el icosaedro, para ello observa que los vértices del icosaedro está en los centros de las caras del dodecaedro y que las aristas del icosaedro y del dodecaedro se cortan en su punto medio. Para dar total rigidez a la figura ataremos los puntos medios de las aristas del dodecaedro y del icosaedro.