MATEMATICA IV 3º MATEMATICA y DISEÑO: ACTIVIDAD 3 y MATEMATICA II: FISICO MATEMATICA ACTIVIDAD Nº 6

MATEMATICA IV: 3º MATEMÁTICA Y DISEÑO (Reformulación 2006) ACTIVIDAD Nº 3
MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006) ACTIVIDAD Nº6

GEOMETRÍA DEL ESPACIO – Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
CONSTRUYE UN OMNIPOLIEDRO:

http://personal.telefonica.terra.es/web/ies4hellin/matematicas/TMates/omnipoliedro.htm

Otras páginas para ampliar información:

http://perso.wanadoo.es/jmora7/index.htm

http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html
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Objetivo: Lo que pretendemos en esta actividad es construir un Omnipoliedro.
¿Qué es? Es un cuerpo geométrico en el que se inscriben los cinco sólidos platónicos. De dentro hacia afuera el orden de los poliedros, en nuestra construcción, será: octaedro, tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro.

¿Cómo lo vamos a hacer?
El material que vamos a utilizar es:
 Varillas de madera u otro material que consigas
 Hilo de pescar u otro
 Cáncamos (uniones).
 Pintura de diversos colores.

A continuación tenemos que calcular la longitud de las distintas aristas, para ello tomaremos como base la arista del cubo, por ejemplo tomemos un cubo de arista 20 cm.

Cálculo de la longitud de las aristas
Vamos a calcular la arista del tetraedro, la siguiente imagen nos puede servir para calcularla:

Calculamos ahora la arista del octaedro, utiliza esta imagen:

Para obtener la arista del dodecaedro:


La arista del icosaedro es igual que la arista del cubo (su cálculo es bastante complicado).

Debes decidir el color de cada poliedro:
El color es otro de los aspectos importantes de esta construcción. Se ha utilizado para distinguir el armazón de cada poliedro de los otros cuatro. De esta forma resaltarán las propiedades específicas de cada uno a la vez que se ponen de manifiesto las relaciones con los demás: planos de simetría, ejes de rotación, dualidad, etc.
Para la elección de los colores se han tenido en cuenta dos factores. En primer lugar la simbología clásica de los poliedros reseñada en el capítulo 1, ya desde la Grecia Clásica se relacionaban los poliedros con los elementos de la materia: el fuego, la tierra, el aire y el mar, junto con el universo.
Platón (s.V a.c.) asignó a cada poliedro regular uno de los elementos que constituían la materia en su obra Timeo:
TETRAEDRO: EL FUEGO tiene la forma del tetraedro, pues el fuego es el elemento más pequeño, ligero, móvil y agudo.
OCTAEDRO: Para los griegos EL AIRE, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros.
HEXAEDRO (CUBO): Los filósofos griegos consideraban que LA TIERRA debe tener la forma del cubo, el sólido más estable de los cinco. El cubo es usado en la cristalización de algunos minerales como la galena.
ICOSAEDRO: El AGUA, el más móvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o “semilla”, el icosaedro, el sólido más cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar
DODECAEDRO: Como los griegos ya tenían asignados los cuatro elementos, dejaba sin pareja al dodecaedro. De forma un tanto forzada lo relacionaron con EL UNIVERSO como conjunción de los otros cuatro: La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos

En segundo lugar se ha atendido a la distinta luminosidad de los colores, que depende la estructura espectral de la luz reflejada por el pigmento. La idea básica es compensar los colores que menos van a aparecer con la elección de un color de mayor luminosidad que los haga resaltar. Se ha estudiado el porcentaje que suponen las barras de cada poliedro respecto del total de la composición. Para los cálculos se ha tomado la arista del cubo de 1 m de longitud aunque los resultados son válidos para cualquier tamaño.

Construcción: Ahora que ya sabes cuantas varillas necesitas de cada color las cortas e insertas los cáncamos (uniones). Debes hacer la varilla un poco más corta de modo que entre la longitud de la varilla y la de los dos cáncamos obtengas la longitud que tienes en la tabla. Las pintas según los colores que hayas elegido y las dejas secar.
Montaje Vamos a montar el Omnipoliedro. Con el hilo de pescar unimos las varillas en los correspondientes vértices siguiendo el siguiente esquema:
1. En primer lugar construye el tetraedro.
2. Si construyes también el cubo, verás como la estructura no se mantiene rígida, para darle rigidez, vamos a inscribirle el tetraedro (los vértices del tetraedro deben coincidir con vértices del cubo).
3. Para encajar el octaedro señala los puntos medios de las varillas del tetraedro, ahí tendrán que estar los vértices del octaedro. Ya tenemos tres de las figuras encajadas.
4. Construir el dodecaedro es bastante complicado, utiliza la estructura anterior y ten en cuenta que las aristas del cubo deben coincidir con diagonales de los pentágonos que forman el dodecaedro, ya tenemos cuatro de los cuerpos encajados, pero en esta construcción el dodecaedro aún no esta rígido.
5. Vamos a construir el icosaedro, para ello observa que los vértices del icosaedro está en los centros de las caras del dodecaedro y que las aristas del icosaedro y del dodecaedro se cortan en su punto medio. Para dar total rigidez a la figura ataremos los puntos medios de las aristas del dodecaedro y del icosaedro.

NUMEROS II

Números grandes, por Adrián Paenza

Si nos pusiéramos en fila, ocupando cada persona una baldosa de 30 centímetros cuadrados, la humanidad entera formaría una cola de casi 2.000.000 (dos millones) de kilómetros, que nos permitiría dar casi 50 vueltas al globo alrededor del Ecuador.

¿Números grandes? Sí. Grandes. Difíciles de imaginar. Uno escucha que las deudas externas se manejan en miles de millones de dólares, que las estrellas en el cielo están a años luz de la Tierra, que la molécula de ADN contiene 3 mil millones de nucleótidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis mil grados centígrados, etc. Estoy seguro de que cada uno que esté leyendo este párrafo tiene sus propios ejemplos para agregar.
Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas, contrastarlas con algo que me sea más fácil representar, ponerlas en perspectiva.
Por ejemplo, si yo le preguntara: ¿cuál es la diferencia que hay entre un millón y mil millones, usted qué contestaría? Ya sé: su primera reacción sería decir: “tres ceros”. Bien. Es cierto. Pero, ¿qué significan tres ceros en este caso? Si los convirtiéramos en segundos, ¿qué diferencia hay entre un millón y mil millones de segundos?
Tengo claro que uno puede hacer la cuenta y darse cuenta, pero la idea no es ésa. La idea es tratar de comprender si uno, internamente, tiene conceptualizada esa diferencia como para imaginarla en términos del tiempo. Y ahí es donde creo que –en general– nosotros no tenemos noción clara de cuán grandes son ciertos números, a pesar de que los usamos todos los días.
Ahora respondo la pregunta: un millón de segundos son un poco más de 11 (once) días y medio. En cambio, mil millones de segundos son casi ¡32 (treinta y dos) años! Es decir, la diferencia es abismal. No tengo claro que cuando uno responde “tres ceros” tenga noción de la “real” diferencia que hay entre un millón y mil millones.
Otro ejemplo: en el mundo hay más de seis mil seiscientos millones de personas. Parece que somos muchos. Pero, ¿qué quiere decir “muchos”? Si pusieran fotos de todos nosotros en un libro, de manera que las hojas fueran de una décima de milímetro de espesor, colocando diez personas por página y utilizando las dos caras de la hoja... el libro tendría más de ¡33 (treinta y tres) kilómetros de alto!
Además, si una persona tardara un segundo por página para recorrer las diez fotos que hay allí, y le dedicara 16 horas diarias, le llevaría casi 31 años mirarlas todas. Peor aún: cuando llegara al final, en el año 2038, el libro ya habría aumentado su tamaño, porque ya seríamos dos mil doscientos millones de personas más y el libro tendría otros 11 (once) kilómetros más de espesor.
Si nos pusiéramos en fila, ocupando cada persona una baldosa de 30 centímetros cuadrados, la humanidad entera formaría una cola de casi 2.000.000 (dos millones) de kilómetros, que nos permitiría dar casi 50 vueltas al globo alrededor del Ecuador.
Y si filmáramos una película con cada persona como “estrella” y apareciendo sólo 15 segundos en pantalla (o sea, un poco menos de siete metros de celuloide por humano), se necesitarían unos ¡46 millones de kilómetros de negativo! Además, si alguien quisiera verla (a la película), se tendría que sentar en el cine por más de 27 millones de horas, o lo que es lo mismo, más de 1.152.000 días, lo que significa unos 3.158 años. Y esto sucedería siempre que esta persona decidiera no dormir, comer ni hacer ninguna otra cosa en la vida.
Como último ejemplo, uno escucha hablar de “años luz”. ¿Usted pensó lo que significa? En realidad, un año luz es una medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz tarda un año en recorrer. Recuerdo aquí que la luz viaja a 300.000 kilómetros ¡por segundo! El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en minutos) es 18.000.000 kilómetros por minuto. Luego, nuevamente multiplicando por 60, lo transforma en 1.080.000.000 kilómetros por hora (mil ochenta millones de kilómetros por hora). Multiplicando por 24, resulta que la luz viajó 25 mil millones de kilómetros en un día. Finalmente, multiplicando por 365 días, un año luz (o sea, la distancia que la luz viaja por año) es de (aproximadamente) 9.460.000.000.000 (casi 9 billones y medio) de kilómetros. De manera tal que cada vez que le pregunten cuánto es un año luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi nueve billones y medio de kilómetros.
En todo caso, la reflexión final es que los números serán todo lo grandes que quiera pero nosotros, los humanos... “somos muchos” y los objetos en el espacio... “están muy, muy lejos”.

NUMEROS I

El juego de los números naturales Por Adrián Paenza

Ahora que se ha puesto de moda hablar sobre La Teoría de Juegos*, vale la pena plantear alguno de los problemas más característicos y atractivos que hay. El que sigue, justamente, es un desafío precioso y sutil. Es, además, muy interesante para pensar.
Supongamos que hay dos personas que van a jugar al siguiente juego. A cada uno de ellos se le va a colocar en la frente un número natural (es decir, se llaman naturales los números 1, 2, 3, 4, 5... etcétera). Sin embargo, la particularidad es que los números van a ser consecutivos. Por ejemplo, el 14 y el 15, o el 173 y el 174, o el 399 y el 400.
Obviamente, no se les dice qué número tiene cada uno, pero cada uno, a su vez, puede ver el número del otro. Gana el juego aquel que es capaz de decir qué número tiene escrito en la frente, pero dando una explicación de por qué dice lo que dice.
Se supone que ambos jugadores razonan perfectamente y sin errores, y esto es un dato no menor: saber que los dos jugadores tienen la misma capacidad de razonamiento y que no cometen errores es crucial para el juego (aunque no lo parezca).
La pregunta es: ¿es posible que alguno de los dos competidores pueda ganar el juego? Es decir, ¿podrá en algún momento uno de ellos decir “yo sé que mi número es ‘n’”?
Por ejemplo: si usted jugara contra otra persona, y usted viera que en la frente de su rival hay pintado un número “1”, su reacción debería ser inmediata. Ya ganó, porque usted podría decir: “Tengo el ‘2’”. Usted puede afirmar con certeza que su número es el “2”, porque como no hay números más chicos que 1 y ése es justo el que tiene el otro competidor, usted, inexorablemente tiene el “2”.
Este sería el ejemplo más sencillo. Ahora, planteemos uno un poco más complicado. Supongamos que usted ve que la otra persona tiene pintado el “2”. Si usted se dejara llevar por las reglas que le fueron explicadas, en principio, lo escribo otra vez, en principio, usted no podría decir nada con certeza. Porque, en principio, usted podría tener o bien el “1”, o bien el “3”.
Sin embargo, aquí interviene otro argumento: si su rival, que es tan perfecto como usted, que razona tan rápido como usted, que puede elaborar ideas exactamente igual que usted, no dijo nada hasta ahí, es porque él no está viendo que usted tiene el “1”. Si no, él ya hubiera gritado que tiene el “2”. Pero como no dijo nada, esto significa que usted no tiene el “1”. Por lo tanto, aprovechando que él no dice nada, es usted el que habla y dice: “Yo tengo el ‘3’”.
Y cuando le pregunten, “¿y usted cómo sabe, si usted está viendo que él tiene el ‘2’?, ¿qué otros argumentos usó?”, usted contestará: “Vea, yo vi que él tenía el ‘2’, pero como él no dijo nada, esto significa que yo no tenía el ‘1’ porque, si no, él hubiera sabido inmediatamente qué número tenía”. Y punto.
Es decir, en la Teoría de Juegos, no importa solamente lo que hace usted, o lo que usted ve, sino también importa (y mucho) lo que hace el otro. Aprovechando lo que hace (o, en este caso, lo que no hizo el otro, que es también una manera de hacer), es que usted pudo concluir qué número tenía.
Ahora, podríamos seguir.
Hagamos un paso más. Si usted viera que el otro tiene un “3” en la frente, entonces eso significaría que usted tiene el “2” o el “4”. Pero si usted tuviera el “2”, y su contrincante está viendo que usted lo tiene (al “2”) pero usted no habla, no dice nada rápido, entonces esto le está indicando a él que él no tiene el “1”. Si así fuera, su rival diría, “Yo tengo el ‘3’”.Y aquí está el punto. Como él no dijo nada (su rival), eso significa que usted no tiene el “2” sino que tiene el “4”. Y usted se apura y grita: “Yo tengo el ‘4’”. Y gana.
Con esta misma idea, uno podría avanzar aún más y usar números cada vez más grandes. ¿Podrá ganar alguno entonces? La pregunta queda abierta.
Este tipo de argumentos (llamados inductivos) requieren –como se ve– de razonamientos hilvanados, finos y sutiles, pero todos comprensibles si uno no se pierde en la maraña de las letras. Le propongo, por lo tanto, que se entretenga un rato pensándolo solo.
Aunque no parezca, todo esto también es hacer matemática. La discusión queda centrada entonces en cuán rápido razonan los jugadores y cuánto tiempo debería esperar para gritar su número o hacer una declaración que se basa en lo que el otro no dijo o no declaró.
Uno podría suponer que lo que quedó aquí descripto es una paradoja, porque aparece como posible que sólo sabiendo el número del otro y con la regla de que ambos participantes tienen números consecutivos, uno pueda deducir el número propio. Lo interesante es que los datos con los que se cuenta son más de los que uno advierte en principio. Los silencios del otro, o el tiempo que tarda en no decir lo que debiera si él viera lo que usted podría tener, le están dando una información adicional a usted.
Y en algún sentido, es singular también cómo el conocimiento va cambiando con el paso del tiempo. En la vida real, uno debería aplicar también este tipo de razonamientos, que se basan no sólo en lo que uno percibe sino también en lo que hace (o no hace) el otro.
* Los ganadores del Premio Nobel de Economía 2005, el israelí Robert J. Aumann y el norteamericano Thomas C. Shelling, lo consiguieron gracias a sus aportes a la Teoría de Juegos. La propia Academia Sueca, encargada de decidir a quiénes condecora, subrayó: “¿Por qué algunos grupos de individuos, organizaciones o países tienen éxito en promover cooperaciones y otros sufren y entran en conflicto?”. Tanto Aumann como Schilling han usado en sus trabajos la Teoría de Juegos para explicar conflictos económicos como la batalla de precios y situaciones conflictivas que llevan –a algunos de ellos– a la guerra.

Schelling dijo que no conocía personalmente al coganador, pero que mientras “él se dedica a producir avances en la Teoría de Juegos, yo soy quien aprovecha lo que él hace para aplicarlo en mi trabajo. Es decir: él produce, yo uso lo que él hace”.

MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - PROBLEMAS CON SISTEMAS DE ECUACIONES

LICEO DE NUEVA PALMIRA “Dr. Medulio Pérez Fontana”
MATEMÁTICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
PARA IR ENTRANDO EN TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES

Colección de problemas
En la granja
1. En una granja se crían crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

2. Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?

3. En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos luchadores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).

4. En la granja se han envasado 300 litros de leche en 120 botellas de dos y cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

5. Se quieren mezclar vino de $60 . con otro de $35 , de modo que resulte vino con un precio de $50 el litro. ¿Cuántos litros de cada clase deben mezclarse para obtener 200 litros de la mezcla?

En el instituto
6. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 preguntas sobre Matemáticas. Por cada pregunta contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada pregunta incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

7. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?

En el centro comercial
8. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga $1530 . Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $825. No se fija en el precio y plantea el problema a su hijo de 13 años. Este después de calcular lo que su madre hubiera pagado por 6 Kg de café y 60 de azúcar halla el precio de cada artículo. ¿Podrías llegar tú a resolver el problema?

9. Con $100 que le ha dado su madre Juan ha comprado 9 paquetes de leche entera y leche semidesnatada por un total de $96. Si el paquete de leche entera cuesta $11.5 y el de semidesnatada $9. ¿Cuántos paquetes ha comprado de cada tipo?

10. En un puesto de verduras se han vendido 2 Kg de naranjas y 5 Kg de patatas por $83.5 y 4 Kg de naranjas y 2 Kg de patatas por $128.5. Calcula el precio de los kilogramos de naranja y patata.

11. Un comerciante de ultramarinos vende el Kg de azúcar a $12. Además, tiene café de dos clases; cuando toma 2 Kg de la primera calidad y 3 Kg de la segunda resulta la mezcla a $75 el Kg y cuando toma 3 Kg de la primera clase y 2 Kg de la segunda entonces resulta la mezcla a $80 el Kg ¿Cuál es el precio de cada calidad de café?

12. El día del estreno de una película se vendieron 600 entradas y se recaudaron $19625. Si los adultos pagaban $40 y los niños $15. ¿Cuál es el número de adultos y niños que acudieron?

13. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a $800 y otros a $1200 con los que han obtenido $19200 ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?

14. En una pastelería se fabrican dos clases de tartas. La primera necesita 2'4 Kg de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 Kg de masa y 2 horas de elaboración. Calcula el número de tartas elaboradas de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 Kg de masa.

15. Un pastelero compra dulces a $65 la unidad y bombones a $25 cada uno por un total de $585 Como se le estropean 2 pasteles y 5 bombones calcula que si vende cada bombón a $3 más y cada pastel a $5 más de lo que le costaron perdería en total $221 ¿Cuántos pasteles y bombones compró?

Trabajando con números
16. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

17. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Hallar dicho número.

18. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6.

19. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544.

20. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 193 y la diferencia sea 95.

21. Un número está formado por dos cifras cuya suma es 15. Si se toma la cuarta parte del número y se le agregan 45 resulta el número con las cifras invertidas. ¿Cuál es el número?

22. Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple del menor.

23. Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.

Contando monedas
24. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco pesos y otras de un peso. ¿Puedo tener en total $78 ?

25. Juan y Roberto comentan: Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú" Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú". ¿Cuántas monedas tienen cada uno?

26. En una bolsa hay 16 monedas con un valor de $220 Las monedas son de $5 y $25 ¿Cuántas monedas hay de cada valor?

27. Tenía muchas monedas de $1 y las he cambiado por duros. Ahora tengo la misma cantidad pero 60 monedas menos. ¿Cuánto dinero tengo?

28. En la fiesta de una amigo se han repartido entre los 20 asistentes el mismo número de monedas. Como a última hora ha acudido un chico más nos han dado a todos 1 moneda menos y han sobrado 17. ¿Cuantas monedas para repartía se tenía?

Asuntos de familia
29. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba $300 a cada uno le sobraba $600 y si no daba $500 le faltaba 1000. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?

30. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?

31. Hace 5 años la edad de mi padre era el triple de la de mi hermano y dentro de 5 años sólo será el duplo. ¿Cuáles son las edades de mi padre y de mi hermano?

32. Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen cada uno?

33. Mi padrino tiene 80 años y me contó el otro día que entre nietas y nietos suman 8 y que si les diese $1000 a cada nieta y $500 a cada nieto se gastaría $6.600 ¿Cuántos nietos y nietas tiene mi padrino?

34. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?

35. La edad de mi tía, hoy es el cuadrado de la de su hija; pero dentro de nueve años será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada una?

36. Mi tío le dijo a su hija. "Hoy tu edad es 1/5 de la mía y hace 7 años no era más que 1/7". ¿Qué edad tienen mi tío y su hija?

Obreros
37. Un obrero ha trabajado durante 30 días para dos patrones ganando $20700. El primero le pagaba $65. diarias y el segundo $80 ¿Cuantos días trabajó para cada patrón?

38. Dos obreros trabajan 8 horas diarias en la misma empresa. El primero gana $50 diarias menos que el segundo; pero ha trabajado durante 30 jornadas mientras que el primero sólo 24. Si el primero ha ganado $3300 más que el segundo calcula el salario diario de cada obrero.

Cuestiones de Geometría
39. Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.

40. Un rectángulo mide 40 m2 de área y 26 metros de perímetro. Calcula sus dimensiones.

41. El perímetro de un rectángulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye en 3 metros su altura el área no cambia. Calcula las dimensiones del rectángulo.

42. Calcula las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye la altura en otros 5 la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 metros cuadrados.

43. El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos?

44. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 18º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada ángulo del triángulo?

45. La altura de un trapecio isósceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuos miden 5 cm. Averigua las bases del trapecio.

46. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m2. Calcula los catetos.

47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.

48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y 20 cm. Calcula la altura del trapecio.

Medidas antiguas
49. En un pueblo, hace muchos años, se utilizaba, como unidades de medida de peso, la libra y la onza. Recientemente se encontró un documento del siglo pasado en el que aparecían los siguientes pasajes: "... pesando 3 libras y 4 onzas, es decir 1495 gramos..." y "... resultando 2 libras y 8 onzas, cuando el extranjero preguntó por el peso en gramos le contestaron 1150 gramos". ¿Sabrías calcular el valor, en gramos, de la libra y la onza?

50. En el mismo documento antes mencionado nos encontramos el siguiente pasaje: "... las dimensiones del mural eran 5 toesas y 3 pies de largo y 3 toesas y 5 pies de alto..." Como ese mural se conserva en la actualidad se ha medido con la máxima precisión posible: 4'82 m de largo por 2'988 m de alto. Con estos datos ¿puedes decir cuánto mide una toesa y un pie en metros?
Viajes

51. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad?

52. Dos pueblos, A y B, distan 155 Km. A la misma hora salen de cada pueblo un ciclista. El de A viaja a una velocidad de 25 Km/h y el de B a 33 Km/h. ¿A qué distancia de cada pueblo se encuentran? ¿Cuánto tiempo ha transcurrido?

53. Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

Grifos y depósitos
54. Dos grifos han llenado un depósito de 31 m3 corriendo el uno 7 horas y el otro 2 horas. Después llenan otro depósito 27 m3 corriendo el uno 4 horas y el otro 3 horas. ¿Cuántos litros vierte por hora cada grifo?

55. Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos grifos a la vez?

56. Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2'4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?

Relojes
57. Un reloj señala las tres en punto. A partir de esa hora, ¿a qué hora coincidirán las manecillas por primera vez?

58. Un reloj señala las tres en punto. Por tanto las manecillas del reloj forman un ángulo recto. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que formen de nuevo un ángulo recto?

59. Un reloj marca las doce horas. ¿A qué hora la manecilla que marca los minutos se encontrará otra vez con la manecilla que marca la hora?

MATEMATICA II 3º FISICO MATEMATICO - MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA

MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006)
MATEMATICA III: 3º SOCIAL ECONOMÍA (Reformulación 2006)

APLICACIONES DE LA ELIPSE

1- ¿QUÉ ES LA LITOTRICIA?
Se trata de un método no invasivo, que parte los cálculos del riñón o de la vía urinaria, en fragmentos más pequeños, para que sean eliminados por el propio organismo.Consiste en un método en el cual se generan unas ondas por fuera del cuerpo, posteriormente se dirigen al cálculo ubicado, ya sea por rayos X o por ultrasonido, las ondas de choque son generadas por una chispa, descargada bajo el agua, y un electrodo ( Bujía ) localizada dentro del reflector de una elipse(campana). Debido a esta forma de elipse o campana, al generar la chispa, todas las ondas se dirigen al cálculo, con una muy alta densidad, entonces el cálculo se fragmenta.

Desde hace veinticinco años, el tratamiento de los cálculos o “piedras” localizada en las vías urinarias, ha avanzado considerablemente. Antes era necesario realizar una cirugía mayor para extraer un pequeño cálculo, mientras que en la actualidad, sólo es necesario operar a menos del 5% de los pacientes que sufren este padecimiento y esto se debe a que, generalmente, el paciente presenta daño renal.

Existen dos formas de llevar a cabo la litotricia:

2- ¿CÓMO ACTÚAN LAS ONDAS DE CHOQUE?

Las ondas de choque consisten en un frente de presión positiva de múltiples frecuencias con un pico inmediato y un descenso gradual. A este respecto, el uso de las ondas de choque para la destrucción de cálculos renales se basa, entre otras, en las siguientes propiedades:

Cuando golpean un material quebradizo, como un cálculo renal, las ondas de choque crean un elevado gradiente de presión que causa su destrucción.

La intensidad necesaria para destruir cálculos debe ser inferior al nivel de tolerancia de los tejidos celulares, con el fin de que sólo afecte a los primeros.

Las ondas de choque pueden ser transmitidas libremente y propagadas a través del cuerpo sin originar una importante pérdida de energía cuando se usa el agua como medio de transmisión.

Además, pueden ser enfocadas con precisión si se integran en un sistema reflector apropiado (con forma de elipse).

3. LITOTRICIA RENAL EXTRACORPÓREA POR ONDAS DE CHOQUE: EL FUNCIONAMIENTO
Los litotriptores son aparatos que cuentan con un generador electromagnético que produce una onda de choque de grandes amplitudes en un foco, localizado geométricamente con rayos x.

La transmisión de las ondas de choque en medios de escasa reflexión (agua y tejidos corporales que la contienen en abundancia) no sufre casi pérdidas. Su velocidad de propagación se aproxima a la del sonido en el agua.

Al llegar la onda de choque focalizada, a zonas de densidad diferente a la del contorno (cálculos), libera en ellas energía mecánica. Éste es el fundamento de la destrucción de los cálculos mediante litotricia extracorpórea.

Descripción del procedimiento

1) El paciente es colocado en una superficie horizontal (mesa de emplazamiento).

2) Se monitorizan informáticamente los signos vitales del paciente a lo largo de todo el procedimiento: presión arterial, electrocardiograma, etc.

3) Localización del cálculo mediante un sistema radiológico de exploración. La imagen se visualiza con gran definición para lograr un enfoque preciso y milimétrico.

4) Se acopla el aplicador de ondas de choque al cuerpo del paciente y se inicia la sesión. La intensidad y duración de las ondas se controlan informáticamente, según el tamaño de los cálculos.

5) En el punto focal, previamente localizado, se descarga la onda de choque.

6) Finalmente, se comprueba por medio de una placa radiológica que los cálculos hayan sido destruidos.

http://www.wipo.int/pctdb/en/wo.jsp?IA=MX1995000008&DISPLAY=DESC

REFLECTORES MULTIFOCALES COMPUESTOS PARA CONCENTRAR ONDAS DE CHOQUE
Campo de la Invención
La presente invención se refiere a reflectores multifocales compuestos hechos por segmentos cuya forma es la de sectores y/o anillos de elipsoides de revolución que pueden ser truncados a la misma o a diferentes alturas con las mismas o diferentes distancias entre focos, o bien, con las mismas o diferentes longitudes de los semiejes de cada uno de los segmentos que conforman a dichos reflectores, pudiéndose dar el caso de que con la unión de más de tres segmentos para formar al reflector, algunos segmentos sean iguales, o bien, que con la unión de más de dos segmentos, algunos provengan del mismo elipsoide de revolución. Obviamente, si el reflector está formado únicamente por segmentos anulares o anillos, el reflector multifocal compuesto resultante será simétrico con respecto al eje de simetría de los segmentos que lo componen. Dichos reflectores multifocales compuestos, sectoriales o anulares, sirven por ejemplo, para concentrar ondas de choque producidas por dispositivos que actualmente emplean reflectores con forma de elipsoides de revolución para concentrarlas, lo que posibilita, entre otras aplicaciones, la desintegración más eficiente de ciertos objetos frágiles, como por ejemplo los cálculos renales, es decir, al usar los reflectores multifocales compuestos en los equipos clínicos de litotripsia extracorporal existentes, se podrían fracturar con un menor número de ondas de choque. Antecedentes de la Invención
En el año de 1980, en Munich, Alemania, se practicó la primera litotripsia extracorporal (también denominada litotricia extracorpórea) por ondas de choque, esto es, desintegración de cálculos renales con un método no invasivo. Actualmente existen varias compañías que ofrecen litotriptores (también denominados litotriptores) extracorporales, nombre que se da a los aparatos que pulverizan cálculos renales o biliares con ondas de choque. La idea fundamental es generar ondas de choque fuera del cuerpo humano, hacerlas pasar por él con un mínimo de pérdidas de energía y concentrarlas sobre el cálculo, creando con ello, una serie de esfuerzos que originan la ruptura del cálculo en varios fragmentos pequeños, que posteriormente puedan ser eliminados por el paciente. Hoy en día, hay en el mundo más de un millar de litotriptores extracorporales para desintegrar cálculos renales, biliares e incluso salivales. Existen litotriptores extracorporales que generan ondas de choque por diferentes métodos, como el electrohidráulico, el electroconductivo, el electromagnético, el piezoeléctrico y el de microexplosivos.
En los dispositivos electrohidráulicos y en los electroconductivos, por ejemplo, se generan descargas eléctricas de alto voltaje (decenas de miles de voltios) entre dos electrodos sumergidos en agua u otro líquido adecuado, lo cual forma un pequeño canal de agua evaporada o de algún otro líquido también evaporado (plasma) que se expande súbitamente, comprimiendo el medio circundante en forma semejante a lo que ocurre en la explosión de una bomba. Esto genera una onda de compresión que después de propagarse unos cuantos centímetros en el agua se transforma en una onda de choque, que es una discontinuidad de presión que se propaga como onda esférica por el medio. Los litotriptores microexplosivos usan pequeñas cargas explosivas para producir el mismo efecto.
En los litotriptores electrohidráulicos, electroconductivos y microexplosivos, una componente importante es el reflector con geometría de elipsoide de revolución truncado. Este reflector puede estar hecho de latón o de algún otro material con propiedades mecánicas similares. Su función es concentrar en el segundo foco (F2) las ondas de choque generadas en el primer foco (Fl) del elipsoide de revolución, o sea en el foco más cercano al reflector, lo cual genera una región de máxima energía en la vecindad del segundo foco (F2) o sea en el foco más lejano a la superficie interna del reflector.
El segundo foco, en el que no se generan las ondas, deberá coincidir con el objeto que se desee desintegrar, como por ejemplo un cálculo renal. En los equipos clínicos de litotripsia extracorporal, la coincidencia del objeto con el segundo foco del elipsoide se logra por medio de un sistema de fluoroscopía y/o por medio de un equipo de ultrasonido.
-->A la fecha todos los litotriptores electrohidráulicos, los electroconductivos y los de microexplosivos usan reflectores en forma de elipsoides de revolución truncados en uno de sus extremos. La simetría de revolución de estos reflectores es con respecto al eje mayor del elipsoide.
En los reflectores convencionales con forma de elipsdoide de revolución, las ondas de choque generadas en el primer foco (Fl) , se concentran necesariamente en fase, temporal y espacial, en el segundo foco (F2) . Esto, como se verá, es una limitante.
Es por lo tanto objeto de la presente invención proporcionar un nuevo arreglo, llamado reflector multifocal compuesto, con la característica de que está formado por segmentos de elipsoides de revolución, con las mismas o diferentes longitudes de los semiejes y con las mismas o diferentes distancias focales de cada uno de los segmentos de elipsoides de revolución.
-->Otro objeto de la presente invención es proporcionar un arreglo novedoso en el que al generarse ondas de choque en el reflector multifocal compuesto, estas ondas se desfasan tanto en el espacio como en el tiempo, generando con ésto, torcas y esfuerzos en cualquier objeto colocado en el sitio indicado (F2, F2 ' , F2 '', ...) , con lo que se obtiene una mayor eficiencia para desintegrarlos.

MATEMATICA II 3º FISICO MATEMATICO - MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA

MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006)
MATEMATICA III: 3º SOCIAL ECONOMÍA (Reformulación 2006)
APLICACIONES DE LA PARÁBOLA: MOVIMIENTO DE PROYECTILES


Consideremos un proyectil disparado en el vacío con una velocidad inicial v0 , bajo un ángulo de tiro α.

Para determinar la trayectoria de este proyectil tomemos un sistema de ejes cartesianos ortogonales situado en el plano vertical que contiene al eje del arma, que tenga por origen la posición inicial del centro del proyectil, y en el que el eje OX sea horizontal. En este plano se mueve dicho centro.
Para encontrar la posición del proyectil, t segundos después del disparo, aplicamos el principio de independencia de los movimientos.




De acuerdo con él podemos suponer descompuesto el movimiento real del proyectil en otros dos. Uno uniforme, de velocidad vo, según la dirección del eje del arma, y otro, uniformemente acelerado, de caída. Al cabo de t segundos el proyectil se encontraría en A a la distancia v0 t de su posición inicial, si obedeciese únicamente al primer movimiento, pero como simultáneamente va cayendo, durante t segundos recorrerá hacia abajo una distancia vertical ½ .g.t2 , siendo g la aceleración de la gravedad en el lugar en que se efectúa el disparo.
Por lo tanto la posición del proyectil, t segundos después del disparo se obtiene componiendo esos movimientos con lo que se determina el punto P. Las coordenadas de este punto P(x;y) que es uno cualquiera de la trayectoria del proyectil son:
y constituyen así las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil. Para hallar su ecuación cartesiana ordinaria debemos eliminar el parámetro t entre ambas ecuaciones. Para ello despejamos t en (1) y lo sustituimos en (2):
De (1) resulta:

lo que nos indica que: La trayectoria de un proyectil disparado en el vacío es una parábola de eje vertical.
Para hallar el vértice sacamos a de factor común:

Si queremos hallar el alcance máximo de ese tiro hallamos el valor de x para el cual es y=0, es decir, la abcisa del punto en que vuelve a tierra el proyectil.

valor éste que es igual al duplo de la abcisa del vértice de la parábola. Esta particularidad no debe extrañarnos, puesto que, por ser, en este caso, el eje de la parábola paralelo al eje OY, el punto de caída del proyectil debe ser simétrico con respecto a ese eje del punto de partida, de donde resulta que la distancia entre ambos debe ser el doble de la distancia del primero al eje; y como el punto de partida coincide con el origen, esas distancias son sus respectivas abcisas.

MATEMATICA II 3º FISICO MATEMATICO - MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA

MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006)
MATEMATICA III: 3º SOCIAL ECONOMÍA (Reformulación 2006)
APLICACIONES DE LA PARÁBOLA: PROPIEDAD ÓPTICA:

Una propiedad geométrica simple de la parábola es la base de muchas aplicaciones importantes.
Si F es el Foco y P es un punto cualquiera de la parábola, la tangente en P forma ángulos iguales con FP y con GP que es paralela al eje de la parábola.
Un principio de física dice que cuando un rayo de luz choca contra una superficie reflectora, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.
Si la parábola gira en torno a su eje se forma un paraboloide de revolución con una superficie reflectora, de modo que todos los rayos que partan del Foco se reflejarán después de chocar con la superficie reflectora paralelos al eje de la parábola.

Esta propiedad de la parábola se usa en el diseño de faros buscadores en los que la fuente de luz se coloca en el foco. Recíprocamente, se usa en ciertos telescopios en los que los rayos paralelos provenientes de una estrella lejana que entran, son enfocados hacia un solo punto: el Foco.

Demostración de la propiedad óptica:
QP es la tangente en P y GP la paralela al eje de las ordenadas. Queremos demostrar que α = β.
Reducimos el problema a demostrar que el triángulo FQP es isósceles.
Hallaremos las coordenadas de Q y luego probaremos que FP = FQ.

El sonido y las ondas electromagnéticas obedecen las mismas leyes de la reflexión de la luz por lo que se usan micrófonos parabólicos para recoger y concentrar sonidos que provienen, por ejemplo, de una parte distante del estadio de fútbol.
Las antenas parabólicas utilizan la propiedad de reflexión de las ondas electromagnéticas para recibir o enviar señales a estaciones de radio, satélites de comunicación o galaxias remotas.

MATEMATICA II 2º CIENTIFICO REPARTIDO 5

Liceo de Nueva Palmira Dr. Medulio Pérez Fontana

MATEMATICA II 2° DC Reformulación 2006
REPARTIDO Nº 5 – NOTACIÓN CIENTÍFICA - Prof. Guillermo R. Osorio Salorio

1) Expresar en Notación científica los siguientes valores:

2) Completar las siguientes igualdades, de acuerdo al modelo:
3) Completar las igualdades siguientes de acuerdo al modelo:

4) 5) Efectuar las operaciones que se indican, a partir de las reglas para la división y multiplicación:
6) Efectuar las siguientes operaciones:

MATEMATICA II 2º CIENTIFICO REPARTIDO 4

Liceo de Nueva Palmira Dr. Medulio Pérez Fontana

MATEMATICA II PRACTICO 2° C - REPARTIDO Nº 4

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1) Señala a qué conjuntos pertenecen los siguientes números Reales:

2) Ordenar en forma decreciente los siguientes números reales:

3) Representar los siguientes números racionales en forma de fracción:
4) Calcular sin hacer uso de la calculadora:

5) Simplificar las siguientes expresiones:

6) Hallar el valor de x:

7) Efectuar operaciones:

8) Calcular el resultado en forma de fracción:

9) Racionalizar los denominadores:

10) Simplificar las siguientes expresiones:

MATEMATICA II 3º FISICO MATEMATICO: APUNTES

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO
Traducido de: L. BRUN et L.TREVILLET
“EXERCISES DE GEOMETRIE”
Ediciones de La Casa del Estudiante – Junio de 1980

LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO
I) Definición de un Lugar Geométrico
Supongamos un punto móvil que se desplaza en un plano a una distancia constante de un punto fijo O del mismo plano. Sabemos que ese punto recorrerá una circunferencia de centro O y radio la distancia constante ( R ). El conjunto de los puntos de la circunferencia y solamente ellos constituye el Lugar Geométrico de P. Un Lugar Geométrico es pues una figura cuyos puntos gozan de una cierta propiedad que no poseen los puntos que no pertenecen a la figura. Se puede concebir un aparato provisto de un lápiz que represente el punto móvil, traduce en forma continua el Lugar Geométrico de este punto. Un compás es un dispositivo simple de este tipo. También los diagramas obtenidos en los aparatos registradores son Lugares Geométricos.

II) Cinco Lugares Geométricos fundamentales:
1º) El lugar de los puntos situados a una distancia R de un punto fijo O es la circunferencia de centro O y radio R.

2º) El lugar de los puntos situados a una distancia dada d de una recta fija r es el conjunto de dos paralelas a r trazadas a la distancia d de esta recta.

3º) El lugar de los puntos equidistantes de dos puntos fijos A y B es la mediatriz del segmento AB.

4º) El lugar de los puntos equidistantes de dos semirrectas Ox y Oy es la bisectriz del ángulo xOy.

5º) El lugar de los puntos desde los cuales se ve un segmento de recta AB bajo un ángulo dado está formado por dos arcos de circunferencia que tienen AB por cuerda y se llaman arcos capaces del ángulo dado sobre el segmento AB. Estos dos arcos son simétricos con respecto a AB. Cada centro está para la mediatriz de AB y sobre la perpendicular en B a la recta que forma con AB un ángulo igual al dado. Si el ángulo es menor que un ángulo recto, cada arco capaz es mayor que una semicircunferencia. Si es recto, cada arco es una semicircunferencia. Si es mayor, cada arco es menor que una semicircunferencia.

III) Estudio de un Lugar Geométrico.
Búsqueda del lugar y demostración.
Es útil tratar de tener una idea de la naturaleza del lugar. Para ello, podemos construir varias posiciones. Puede suceder:
1º) Que las construcciones efectuadas den puntos alineados: tenemos la intuición de que el lugar es una recta y trataremos de demostrarlo.
2º) Que los puntos no estén alineados. Como por el momento, tratándose de lugares planos la única curva que hemos estudiado es la circunferencia, podemos tener la intuición de que se trata de una circunferencia ( o de un arco) y trataremos de demostrarlo.
Para establecer el lugar que acabamos de intuir, trataremos de ubicar el problema en uno de los logares del parágrafo II.

1er. ejemplo:
Sean A y B dos puntos fijos de una recta xy. Se traza una circunferencia variable C tangente en B a xy y desde A se traza la segunda tangente AM a la circunferencia. Lugar Geométrico de M.

Búsqueda del Lugar: Construimos tres posiciones particulares M1, M2 y M3 del punto M (fig. 1). Observamos que estos puntos no están alineados y parecen pertenecer a una circunferencia de centro A. Para demostrarlo bastará con probar que la distancia AM es constante. Este estudio preliminar debe ser hecho “en borrador” solo para guiarse. Para hacer la demostración haremos una nueva figura con la única posición de M (Fig. 2).
Demostración: Las longitudes AM y AB son iguales por ser tangentes desde un mismo punto exterior A a la circunferencia de centro O. Como A y B son fijos, la longitud AM es constante y el punto M se desplazará sobre la circunferencia de centro A y radio AB.
Recíproco: Habiendo ya demostrado que el punto M se halla sobre una figura fija, falta probar que un punto tomado sobre esta figura responde a las condiciones impuestas a M por el enunciado.
Haremos una nueva figura (fig.3) que tenga los elementos fijos de la hipótesis del problema y el lugar hallado en la primera parte.
Sea M un punto de la circunferencia de centro A y radio AB. Bastará demostrar que se puede construir una circunferencia tangente en M a AM y tangente en B a AB. Tracemos la perpendicular en M a AM y en B a AB. Estas rectas se cortan en O (siempre que M no pertenezca a la recta AB). Son tangentes a la circunferencia de centro A siendo perpendiculares respectivamente a los radios AM y AB en sus extremos. Estas dos tangentes OB y OM son iguales. Por tanto la circunferencia de centro O y radio OB pasará por M. Será tangente en B a AB y en M a AM, ya que estas rectas son perpendiculares a los radios OB y OM en sus extremos. M es entonces el punto de contacto de una tangente trazada desde A a una circunferencia tangente en B a AB.
La conclusión de este estudio es que el lugar de M es la circunferencia de centro A y de radio AB, exceptuando los puntos B y diametralmente opuestos para los que no puede trazarse la circunferencia del enunciado. El recíproco muestra si toda la figura hallada constituye el lugar buscado, o si el lugar está solo formado por parte de la figura (como en el caso anterior en que debimos excluir dos puntos). En este último caso, será determinar los límites del lugar.
Se puede considerar un problema de lugar geométrico como el estudio de una figura que se deforma manteniendo ciertos elementos fijos. La figura queda completamente determinada cuando se elige la posición de un cierto punto o de una cierta recta que llamaremos variable principal. Este elemento se desplaza entre dos posiciones límites fijadas en el enunciado. (Estas posiciones pueden estar confundidas, por ejemplo si un punto, elemento variable principal, describe una circunferencia).
A cada una de estas posiciones del elemento variable principal corresponde una posición particular del punto cuyo lugar se busca. Estas posiciones particulares son los límites del lugar. La búsqueda completa de los límites de un lugar puede sustituir al recíproco.
Veamos un ejemplo:

2º ejemplo): Sea P un punto fijo exterior a una circunferencia de centro O. Se traza una secante PAB a la circunferencia. Lugar Geométrico del punto medio de la cuerda AB.

Búsqueda del lugar: (en borrador). Construimos tres posiciones de la secante PAB. Los puntos medios de las cuerdas son respectivamente M1, M2 y M3 que no están alineados. Parecen pertenecer a una circunferencia de diámetro PO (O es un punto del lugar ya que PO corta a la circunferencia, según un diámetro de punto medio O).
Demostración: Siendo M el punto medio de la cuerda AB, la recta OM que une ese punto al centro es perpendicular a AB. Por tanto el ángulo OMP es recto; es inscriptible en una semicircunferencia de diámetro OP, M pertenece entonces a la circunferencia de centro C, medio de OP.
Recíproco: Sea M un punto de la circunferencia C de diámetro OP. Trazamos PM que corta a la circunferencia en A y B. El ángulo OMP está inscrito en una semicircunferencia; es recto. por tanto OM es perpendicular a la cuerda y pasa por el punto medio de AB, M es el punto medio de AB.

Para que este razonamiento sea válido se necesita que PM encuentre a la circunferencia de centro O y por tanto que M esté sobre la parte de la circunferencia interior al círculo de centro O, es decir sobre el arco TOT’.
Limitación del lugar: Podríamos haber hallado los límites del lugar por el razonamiento siguiente, que puede sustituir al recíproco. En este problema, el elemento variable principal es la recta PAB. Gira alrededor de P y debe encontrar a la circunferencia de centro O. Sus posiciones límites son las tangentes PT y PT’ a la circunferencia de centro O. Para la posición PT los puntos A y B están confundidos en T, por tanto el punto medio M de AB es también T. para la posición PT’, M está en T’. El lugar es el arco TOT’ de la circunferencia de diámetro OP, interior al círculo de centro O.

Utilización de las posiciones particulares:
La posición notable de la secante PAB pasando por O nos ha mostrado que O es un punto del lugar. Se puede a veces, considerando posiciones particulares del elemento variable, deducir posiciones (sin construcciones nuevas) de puntos del lugar. Por otra parte, estos puntos son en general los límites del lugar.
Algunas veces el punto móvil puede halarse sobre una línea fija ya trazada. Es suficiente en este caso construir la figura para tener una idea del lugar. La demostración consiste en justificar esta posición notable. Veamos otro ejemplo:

3er. ejemplo: Sea un punto M variable exterior a una circunferencia de centro O. Se trazan las tangentes MA y MB. Lugar del incentro del triángulo MAB.

Búsqueda del lugar (en borrador): Las bisectrices de los ángulos MAB y MBA parecen cortarse sobre la circunferencia de centro O.

Demostración: La bisectriz del ángulo A pasa por el punto medio del arco AB. Los dos ángulos inscritos A1 y A2 iguales deben interceptar arcos iguales. La bisectriz del ángulo B también pasa por el punto medio del arco AB. El incentro pertenece a la circunferencia de centro O.

Recíproco: Sea I un punto de la circunferencia de centro O. Tracemos una cuerda AB perpendicular a OI y las tangentes en A y B se cortan en M. El radio OI perpendicular a la cuerda AB pasa por el punto medio del arco AB y los arcos AI e IB son iguales. El ángulo A1 inscrito es igual a la mitad del ángulo BOI y el A2 semiinscrito igual a la mitad del IOA. Entonces los ángulos A1 y A2 son iguales, AI es la bisectriz del ángulo MAB.
Análogamente, BI es bisectriz del ángulo MBA, I es entonces el incentro del triángulo.
El Lugar de I es la circunferencia de centro O entera..

También el punto móvil puede estar sobre una línea fija no trazada en la figura y no incluida en los cinco lugares del parágrafo II. En este caso nos encontramos en general en presencia de una recta. Se prueba que es fija mostrando que pasa por un punto fijo y forma un ángulo constante con una dirección fija.

4to. Ejemplo: Sea M un punto variable del lado AB de un triángulo ABC. Se toma sobre la prolongación CX de AC una longitud CN = BM. Lugar del vértice P del paralelogramo BMNP.

Búsqueda del lugar: Sea P el cuarto vértice del paralelogramo BMNP. Si M está en B, N está en C y el paralelogramo se reduce al segmento BC, por tanto P está en C. Si M está en A, el paralelogramo es BAN’P’. Los tres puntos del lugar C, P y P’ parecen alineados.

Demostración: Unimos C con P. Los lados opuestos BM y PN del paralelogramo son iguales, de donde PN = CN. El triángulo NCP es isósceles y el ángulo C1 es la mitad del ángulo externo N1. Pero NP y AB son paralelas. Los ángulos correspondientes N1 y A son iguales, por tanto el ángulo C1 es igual a la mitad del ángulo A, es un ángulo constante y la dirección CP es fija.

Recíproco: Sea P un punto de la recta CY que forma en C con CX un ángulo XCY igual al ángulo A/2. La paralela trazada por P a BA corta a CX en N y la paralela a PB trazada por N corta a AB en M.
En el triángulo NCP el ángulo externo N1 = C1 + P1 = N1 = A por correspondientes y C1 = A/2, de donde el ángulo P1 = A/2 = C . El triángulo NCP es isósceles y NP = CN . Los lados opuestos BM y PN del paralelogramo BMNP son iguales CN = BM y P es un punto del lugar.

Limitación: Los límites son C y P’

Construcción del lugar: Se traza la bisectriz del ángulo A y por C la paralela. por B se traza la paralela a AC para determinar P’

En resumen: Frente al problema de “Hallar el lugar geométrico de un punto P sujeto a ciertas condiciones“, lo resolvemos de la siguiente manera:
Buscamos una figura F sobre la cual se hallan todos los puntos P, y, luego, demostramos que todo punto de F (o parte de ella) cumple las condiciones exigidas.

El Lugar de una recta (o varias) si el punto móvil:
a) está a una distancia constante de una recta fija, el Lugar son las dos paralelas a la recta fija.
b) equidista de dos puntos fijos A y B, el Lugar es la mediatriz del segmento AB.
c) equidista de dos rectas fijas, el Lugar es la bisectriz de los ángulos formados por las rectas.
d) se halla en una recta que pasa por un punto fijo y forma un ángulo constante con una dirección fija.
e) se halla en una recta notable de la figura.

El Lugar en una circunferencia ( o parte) si el punto móvil:
a) está a una distancia constante R de un punto fijo O, el Lugar es una circunferencia de centro O y radio R.
b) es vértice de un ángulo constante cuyos lados pasan cada uno por un punto fijo, el Lugar es un arco capaz.
c) pertenece a una circunferencia fija de la figura.

A menudo, en los problemas del Lugar Geométrico hay que demostrar que un segmento o un ángulo son constantes.
A) se puede demostrar que son iguales a un segmento o un ángulo de la figura.
B) se los puede calcular en función de otros elementos de la figura y probar que el valor obtenido es constante,.

EJERCICIOS:
I) El punto móvil se encuentra a una distancia constante de un punto fijo

1) Lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio R que pasan por un punto fijo A.

2) Lugar Geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a dos circunferencias concéntricas dadas.

3) Lugar Geométrico de los puntos desde los cuales se puede trazar dos tangentes a una circunferencia que formen entre ellas un ángulo dado.

4) Sea un ángulo recto XOY fijo, y un segmento AB que se desplaza de modo que A pertenece siempre a OX y B a OY, siendo el segmento AB de longitud constante. Hallar el Lugar Geométrico del punto medio M de AB. Se trazan las perpendiculares en A a OX y en B a OY. Lugar Geométrico de la intersección de estas dos perpendiculares.

II) El punto móvil se halla a una distancia constante de una recta fija.

5) Una circunferencia de radio constante rueda sobre una recta XY. Lugar Geométrico de su centro.

6) Sea un paralelogramo ABCD cuyo lado AB es fijo y su altura CH constante. Lugar geométrico del punto de corte de las diagonales.

III) El punto móvil equidista de dos puntos fijos

7) Lugar geométrico de los vértices B y D de un rombo ABCD cuyos vértices A y C son fijos.
8) Lugar geométrico de las circunferencias tangentes a dos circunferencias iguales.

9) Sean tres puntos A, B y C alineados. Se consideran dos circunferencias iguales variables, una que pasa por A y B y la otra que pasa por B y C. Lugar Geométrico del segundo punto de intersección de las circunferencias.

IV) El punto móvil equidista de dos rectas fijas

10) Lugar geométrico de los centros de la circunferencia tangente a dos rectas paralelas.

11) Sea un cuadrado ABCD. Se toma sobre la prolongación del lado BC un punto M. La perpendicular en A a AM corta la prolongación de CD en P. Se construye el paralelogramo AMNP. Lugar Geométrico del vértice N.

12) Sea una circunferencia de centro O y dos diámetros X’OX e Y’OY perpendiculares. Un ángulo recto AOB gira alrededor de O. Sus lados cortan la circunferencia respectivamente en A y B. Por A se traza una paralela a X’OX y por una a Y’OY. Lugar Geométrico del punto P de intersección de estas dos rectas.

V) El punto móvil pertenece a un arco capaz.

13) En un triángulo ABC, el lado BC es fijo y el punto A es cualquiera. Lugar Geométrico de los pies de las alturas trazadas desde B y C.

14) En un triángulo ABC el lado BC es fijo y el punto A es cualquiera tal que el ángulo A es constante. Lugar Geométrico del centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (incentro).

15) En el triángulo ABC el lado BC es fijo, el ángulo A es constante. Lugar del ortocentro del triángulo ABC.

VI) El punto móvil pertenece a una línea fija de la figura

16) Sea A un punto fijo de una recta XY. Se consideran dos circunferencias variables cuyos centros pertenecen a XY y que son tangentes exteriormente en A. Se traza una tangente común exterior TT’. Lugar Geométrico del punto medio de TT’.

17) Sea M un punto variable de un segmento de recta AB. Se construye en una de los semiplanos determinados por la recta AB los cuadrados AMCD y BMEF. Lugar Geométrico de los centros I y J de estos cuadrados. Lugar Geométrico del punto medio de IJ.

VII) El punto móvil se encuentra sobre una recta que pasa por un punto fijo y forma un ángulo constante con una dirección fija.

18) Sea un ángulo XOY de 60º. Sobre OX y OY se toman dos segmentos iguales OA y OB. Se traza BA y se prolonga en una longitud AK, BA. Lugar Geométrico del punto K cuando A describe OX. Lugar Geométrico del circuncentro del triángulo OAK.

VIII) Los lugares siguientes se reducen a los casos precedentes

19) Lugar Geométrico del vértice A de u triángulo ABC cuyo lado BC es fijo y la altura AH es constante.

20) Lugar Geométrico de los puntos medios de las cuerdas de longitud d trazadas en una circunferencia de radio R.

21) Sea una recta fija XY y un punto fijo A exterior a la recta. Sea B un punto variable de XY. Se prolonga AB es una longitud BP=AB. Lugar Geométrico de P.

22) Sobre los lados AB y AC de un triángulo isósceles ABC se toma AM = AN. Lugar Geométrico del punto de intersección de las rectas CM y BN.

23) Sea un triángulo equilátero ABC cuyo vértice A es fijo. El lado BC pasa por un punto fijo M. Lugar Geométrico de los vértices B y C.

24) En un triángulo ABC el lado BC es fijo y el ángulo A es constante. Lugar Geométrico del centro de la circunferencia exinscrita en el ángulo B del triángulo. Idem para la circunferencia exinscrita en el ángulo C.

25) Sea AC una cuerda variable de una semicircunferencia de diámetro AB y sea AX la tangente a esta semicircunferencia. La bisectriz del ángulo CAX corta BC en un punto M. Lugar Geométrico de M.

26) En un triángulo ABC el lado BC es fijo, el vértice A cualquiera. Lugar geométrico de las proyecciones de los vértices B y C sobre la mediana trazada desde A.

MATEMATICA II 3º FISICO MATEMATICO ACTIVIDAD 8

MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006)
ACTIVIDAD No. 8: GEOMETRÍA DEL ESPACIO: SECCIONES PLANAS – AREAS Y VOLÚMENES

1) Se considera un Cubo ABCDEFGH cuya arista es de medida dada “a” y los planos α = (A,H,F) y β =(A,E,C).
a) Construir en verdadera magnitud la sección plana del cubo con α .
b) Indicar que tipo de poliedro es el AHFC y construir un desarrollo del mismo.
c) Construye en verdadera magnitud la sección plana del poliedro AHFC con el plano β .

2) La base de una pirámide es un rectángulo ABCD con BC = x y AB = 2x . El vértice V está sobre la perpendicular por el centro del rectángulo tal que la altura de la pirámide es x.
a) Calcular la superficie total y el Volumen de la pirámide.
b) Construir el desarrollo.
c) Construir la intersección de la pirámide con el plano que contiene el lado CD y es perpendicular al plano (A,B,V). Calcular el área de dicha sección (para la construcción tomar x= 2 cm)

3) Se considera un Cubo ABCDEFGH de arista x. Sean P y Q los puntos medios de las aristas AE y AB respectivamente, y M y N que pertenecen a las aristas CD y DH tales que MD = ND = x/3
a) Construir para x = 4 cm el cuadrilátero PQMN.
b) Calcular el área en función de x.
c) Calcular en función de x el área total y el Volumen del poliedro APQDNM.

MATEMATICA IV 3º MATEMATICA y DISEÑO: ACTIVIDAD 5

MATEMATICA IV: 3º MATEMÁTICA Y DISEÑO (Reformulación 2006)
ACTIVIDAD No. 5: GEOMETRIA DESCRIPTIVA: REPRESENTACIÓN DE RECTAS

1) Una recta es paralela a LT, encontrar su distancia a LT

2) Dar las proyecciones de una recta que pasando por un punto P de cota 5 y alejamiento 2, es paralela al PV y forma un ángulo de 30º con el PH

3) Hallar la intersección de una horizontal y una vertical con el primer bisector

4) Trazar por el punto P (4 ; -2) una recta paralela a una recta de perfil dada por los puntos
M (-1 ; -5) y N (-4 ; 1)

5) Trazar en el primer diedro, por el punto A (3 ; 1), una recta que forme con el PH un ángulo de 30º y con el PV un ángulo de 45º

6) a) Representar una pirámide VABCD cuya base ABCD es un rectángulo, sabiendo además:
• A (3 , 2 , 0) , C ( 7 , 4) , V (5,....,0).
• AB // PV, B tiene cota 4, AB = 5cm, AV = 5cm (B a la derecha de A).
b) Justificar la determinación de B, C y V.

7) a) Representar un tetraedro regular ABCD de 5cm de arista, sabiendo:
• M (6,6) y N son puntos medios de AB y CD respectivamente
• el plano (CDM) está contenido en el 1er. Bisector
• CD // LT (C y D con la menor cota posible)
b) Justificar la determinación de los vértices del tetraedro.

8) a) Dados A(5,3,0), B(1,2,2), C(5,2,5), D(3,-3,5), E(-2,2,6), hallar la “verdadera magnitud” de los segmentos: AB, AC, ,BC, ,CD y DE
b) Dados : Una recta r cualquiera y los puntos A perteneciente a “r” y B no perteneciente a “r”, representar un triángulo ABC isósceles con base BC , con AC incluida en r .
c) Representar P(2,3) y Q(5,4) / PQ = 8cm.

9) Representar un cubo ABCDEFGH sabiendo que :
a) arista= 4cm, A(1,2), AB es frontal, cot(B)=3cm (B a la derecha de A), cot(C) = 4cm (con el mayor alejamiento posible). E con la mayor cota posible.
b) arista= 4cm, A(2,3), AB de perfil, alej(B)=3cm, alej(G)=6cm
c) A(4,5), F(1,3), AF = 5cm. alej(H)=4cm, H y E con la menor cota posible.

10) Representar un octaedro regular ABCDEF sabiendo que :
a) O (7,6), (O centro del octaedro), arista=4cm, B(5,5), alej(C)=6,5cm
b) AD es horizontal, arista=4cm, A(3,4), alej (D)=5cm (D a la derecha de A), A'F' = 3cm.
O con la mayor cota posible.

MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - ACTIVIDAD 5

LICEO DE NUEVA PALMIRA “Dr. Medulio Pérez Fontana”
MATEMÁTICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
ACTIVIDAD Nº 5 –PROGRAMACIÓN LINEAL – TRABAJANDO CON GEOGEBRA

1) Un agricultor posee 22 hectáreas de tierras de labor. Debe sembrar Cebada y Papas.
De papas, por razones de cupo, le está permitido plantar hasta 10 hectáreas. Los costos de roturación, simiente y abono son de u$s 700 por hectárea para la Cebada y de u$s 2100 por hectárea para las papas.
Para cubrir esta inversión inicial, el productor dispone de u$s 25200.
Tras la recolección y la venta del producto, cada hectárea le reporta: u$s 2200 la Cebada y u$s 850 las papas. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo debe sembrar para hacer máximo el beneficio o ganancia?

2) Una compañía posee dos minas. La mina A produce diariamente dos toneladas de carbón de alta calidad, cuatro toneladas de carbón de calidad media y ocho toneladas de carbón de baja calidad.
La mina B produce cuatro toneladas de cada clase de carbón.
La compañía necesita 140 toneladas de carbón de alta calidad, 260 toneladas de calidad media y 300 toneladas de baja calidad. Los gastos diarios de la mina A ascienden a u$s 300 y los de la mina B a u$s 400. ¿Cuántos días hay que trabajar en cada mina para que el costo sea mínimo?

3) Con 80 Kg de acero y 120 Kg de aluminio se quieren fabricar bicicletas de Montaña y de Paseo que se venderán a u$s 200 y u$s 150 respectivamente.
Para una bicicleta de montaña son necesarios 1 Kg de acero y 2 Kg de aluminio y para unba de paseo 2 Kg de cada uno de los metales. ¿Cuántas bicicletas de montaña y de paseo se deben fabricar para obtener el beneficio máximo? ¿A cuánto asciende éste?

4) En una granja se preparan dos clases de alimentos para el ganado: P y Q, mezclando dos productos A y B. Una bolsa de P contiene 8 Kg de A y 2 Kg de B, y una bolsa de Q contiene 10 Kg de A y 5 Kg de B. Cada bolsa de P se vende a $300 y cada bolsa de Q se vende a $800. Si en la granja hay almacenados 80 Kg de A y 25 Kg de B ¿Cuántas bolsas de cada tipo de alimento para ganado deben prepararse para obtener los máximos ingresos?

5) Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a Frutilla o Durazno. Se decide repartir al menos 30000 yogures en el departamento de Colonia. Cada yogur de Frutilla necesita para su elaboración 0,5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de Durazno necesita 0,2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 Kg de este producto para fermentación. El costo de producción de un yogur de Frutilla es de $3 y $2 para uno de Durazno.
¿Cuántos yogures de cada clase se deberán repartir para que el costo sea mínimo?

6) Disponemos de u$s 210.000 para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de u$s130.000 en las del tipo A y como mínimo u$s 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

7) Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de $ 2500 por electricista y $ 2000 por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?

MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA - INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Introducción a la Programación Lineal:
Se buscan soluciones

En el mundo en el que vivimos cada vez más se hace necesario desarrollar técnicas que nos permitan gestionar el funcionamiento de una compañía aérea asegurando eficacia y rentabilidad, buscarlos mejores canales de distribución para los productos de una multinacional, encontrar la composición ideal para un alimento para el ganado, planificar la producción de una fábrica o decidir medidas para el ahorro energético de grandes empresas.

Aún cuando la programación lineal surgió especialmente para dar respuesta a cuestiones de carácter logísitco y militar, es en la industria y en la economía donde posteriormente ha encontrado sus aplicaciones más interesantes.
En los problemas prácticos con los que nos encontramos en el mundo actual intervienen multitud de factores (materia prima, mano de obra, transporte, recursos disponibles, niveles económicos, tiempo, etc.) sujetos a múltiples restricciones, con los que se desea obtener unos beneficios máximos o unos costos mínimos.

Detrás de todas estas situaciones se esconde un problema de optimización. Encontrar una solución óptima significa hallar la mejor solución a un problema sujeto a restricciones. En el caso de la multinacional, se trataría de minimizar el gasto derivado de la distribución de los productos y las restricciones serían por ejemplo el tiempo de entrega, cubrir una zona determinada, etc.
Si hablamos del diseño de la producción de la fábrica, se trataría de maximizar las ganancias; las restricciones serían la materia prima disponible, las exigencias del mercado, etc. En todos ellos, las restricciones se pueden traducir en inecuaciones lineales y lo que se va a minimizar o maximizar en una función lineal.

La programación lineal es un sistema matemático de resolución de problemas muy empleado por ingenieros, hombres de empresa, economistas, etc., que aplican la matemática para resolver problemas concretos. De una manera intuitiva, todos nosotros empleamos la programación lineal para resolver problemas, aunque no vendría nada mal aprender a hacerlo de manera sistemática como hacen los profesionales antes aludidos.

Un problema de programación lineal para dos variables consiste en:
1) Optimizar( maximizar i minimizar) una función lineal a la que llamaremos Función Objetivo.
2) Esa Función Objetivo está sujeta a restricciones, dadas mediante inecuaciones lineales.

Cada desigualdad anterior determina un semiplano. El conjunto de los puntos que cumplen todas las desigualdades determinan un recinto, acotado o no, que llamaremos Región Factible.
Se llama solución óptima a una solución factible que optimice la Función Objetivo.
El teorema fundamental de la programación lineal dice que la solución óptima se encuentra siempre en la frontera de la región factible.

Veamos dos ejemplos:
Ejemplo 1:Problema de máximos.
En una granja se preparan dos clases de alimentos para el ganado: P y Q, mezclando dos productos A y B. Una bolsa de P contiene 8 Kg de A y 2 Kg de B, y una bolsa de Q contiene 10 Kg de A y 5 Kg de B. Cada bolsa de P se vende a $300 y cada bolsa de Q se vende a $800. Si en la granja hay almacenados 80 Kg de A y 25 Kg de B ¿Cuántas bolsas de cada tipo de alimento para ganado deben prepararse para obtener los máximos ingresos?

Ejemplo 2: Problema de mínimos
Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a Frutilla o Durazno. Se decide repartir al menos 30000 yogures en el departamento de Colonia.
Cada yogur de Frutilla necesita para su elaboración 0,5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de Durazno necesita 0,2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 Kg. De este producto para fermentación.
El costo de producción de un yogur de Frutilla es de$3 y $2 para uno de Durazno.

MATEMATICA II 3º FISICO MATEMATICO ACTIVIDAD 7

MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006)
ACTIVIDAD No. 7: GEOMETRÍA DEL ESPACIO – Prof. Guillermo R. Osorio Salorio
SECCIONES PLANAS: TOMOGRAFÍAS

Una de las técnicas más modernas empleadas en medicina para obtener una radiografía del interior de un organismo se llama Tomografía de Resonancia Magnética Nuclear y se utiliza desde el año 1982. El procedimiento en el que está basado consiste en obtener imágenes del interior del cuerpo mediante capas paralelas sucesivas. Cada una de estas capas reproduce una imagen del organismo como si se hubiese realizado en él un corte. En cierta medida, cuando cortamos un poliedro por planos paralelos, la serie de cortes es una tomografía del cuerpo que podemos presentarla en una serie de radiografías.

A continuación te presentamos una serie de tomografías de cuerpos diferentes ¿Puedes hacer un dibujo aproximado de cada cuerpo?

1)

2)
3)
4)
5)
6) ¿Qué cuerpo sólido situado en cualquier posición produce siempre figuras de la misma forma aunque de distinto tamaño al cortarlo por planos paralelos, esto es, al hacerle una tomografía?