MATEMATICA II 3º FISICO MATEMATICO: Resolución de Problemas

RESOLUCION DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS:
En la resolución de un problema geométrico conviene distinguir las siguientes partes:
a) El análisis
b) La Construcción
c) La Demostración
d) La Discusión

En el Análisis se supone el problema resuelto, dibujando una figura que satisfaga aproximadamente las condiciones dadas y se investigan las relaciones existentes entre los elementos conocidos y desconocidos de la misma. Para ello se trazan ciertas líneas adicionales, se divide la figura en partes, se halla la suma o diferencia de algunos elementos, etc., hasta encontrar una serie de propiedades que permitan ir reduciendo el problema a otros más sencillos o ya conocidos.
(Se sigue así un proceso de aplicación general denominado método reductivo el cual consiste en ir transformando el problema propuesto en otros más sencillos hasta llegar a uno que se sepa resolver.)
Es conveniente dibujar varias figuras en posiciones diferentes para evitar el error o la falta de generalidad a que podría conducirnos el haber partido de una posición particular, debiendo hacerse un examen de las condiciones impuestas en el problema para investigar todas las posibles posiciones de la figura que se busca. Este estudio previo de los diferentes casos que pueden presentarse es llamado por algunos autores la discusión del planteamiento.

En la Construcción se hace el dibujo de la figura pedida teniendo para ello en cuenta los resultados y relaciones obtenidos en el análisis del problema.
La construcción se efectúa generalmente utilizando como instrumentos auxiliares la regla y el compás, pero no nos restringiremos al uso exclusivo de estos instrumentos pues tal restricción implica la imposibilidad de resolver en general ciertos problemas sencillísimos, como el de la trisección del ángulo.
En la geometría moderna se propende al empleo, en la resolución de cada problema, del instrumento o instrumentos más adecuados al mismo, sin imponerse previamente limitaciones de ninguna clase. Otra tendencia que se ha manifestado en la Geometría moderna es la de la resolución de los problemas con la menor cantidad posible de instrumentos diferentes.
Las figuras usadas en el análisis del problema son esquemáticas y por consiguiente, de dimensiones arbitrarias. En la construcción, por el contrario, debe darse ala figura las dimensiones requeridas partiendo del verdadero tamaño (o posición) de los datos.
Es recomendable efectuar todas las construcciones auxiliares en la misma figura, siempre que esto no la haga confusa o poco precisa; en este último caso será preferible desarrollar en lugar aparte algunas de dichas construcciones auxiliares o intermedias.
Una construcción se considera tanto más elegante cuanto menos líneas auxiliares y teoremas geométricos se hagan intervenir en ella; y también, cuánto más simples sean los instrumentos empleados en la misma. Deberá procurarse pues, la construcción más económica, comprendiendo en este concepto no solamente la economía de pensamiento sino también ciertas economías de trabajo.
En la construcción de la figura deben observarse las reglas generales del dibujo lineal y, en particular, los convenios siguientes: los datos se dibujan con línea llena y fina, las líneas auxiliares se hacen de trazos, de puntos, o de trazos y puntos (según convenga), o líneas muy finas, y los resultados se dibujan con línea llena y gruesa (o con algún lápiz de bello color).

En la Demostración se justifica la construcción realizada probando que la figura obtenida satisface las condiciones del problema. Como en la demostración se sigue, en general, el proceso inverso al utilizado en el análisis, se necesitará, para que esta justificación sea válida, que sean ciertos los teoremas recíprocos de los que intervinieron en el análisis.

En la Discusión se estudian: a) los casos de posibilidad o imposibilidad del problema; b) los casos de determinación o indeterminación del mismo; c) los casos particulares interesantes que pueda ofrecer.

Métodos de resolución de los problemas geométricos.

Hoy en día, gracias a la sistematización lograda en la Geometría, mediante la introducción de ciertos conceptos generales como los de lugar geométrico, transformación geométrica y sistemas de coordenadas, es posible llegar mediante una reflexión metódica, es decir, por medio de un estudio sistemáticamente conducido, a la resolución de la mayoría de los problemas.
Claro es que los factores de habilidad intelectual, buen discernimiento y conocimientos previos asimilados mantendrán siempre importancia preponderante. En cuanto a la necesidad de hallarse plenamente familiarizado con la mayor cantidad posible de propiedades geométricas, resulta evidente, pues existen teoremas muy fecundos que proporcionan la clave para la resolución en gran número de casos.
Los métodos de resolución de los problemas geométricos los clasificaremos en la siguiente forma:
1) Método de los Lugares Geométricos
2) Método de transformación de la figura
3) Método algebraico.

El método de los Lugares Geométricos consiste esencialmente en prescindir de alguna o algunas de las condiciones del problema, sustituyéndolo por otros problemas indeterminados pero más simples. Se obtienen entonces varios lugares geométricos de cuya combinación o intersección resulta la solución del problema propuesto.

El método de Transformación de la figura consiste como su nombre lo indica, en someter la figura o una parte de ella a una transformación que facilite la resolución del problema o que lo transforme en otro más sencillo. Según el tipo de transformación geométrica usado se tienen diferentes métodos especiales que estudiaremos sucesivamente, a saber: traslación, rotación, simetría, homotecia y semejanza.
El método algebraico consiste en expresar mediante una fórmula algún elemento geométrico (por ejemplo un segmento) cuya determinación permita resolver el problema fácilmente. Ello se logra relacionando algebraicamente los datos con algunos elementos desconocidos (mediante los teoremas que expresan relaciones métricas en el triángulo, en los polígonos, en el círculo, etc, o bien, con auxilio de la geometría analítica) y resolviendo las ecuaciones resultantes con respecto a las incógnitas correspondientes a dichos elementos. Por último se efectúan geométricamente las operaciones indicadas por la fórmula obtenida.
En este método puede recurrirse, si es necesario, al uso de relaciones trigonométricas.

NORMAS GENERALES SOBRE LAS DEMOSTRACIONES Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ( Mario Coppetti – Geometría Racional 2do.año)
Los desarrollos de muchos teoremas y problemas geométricos, tienen ciertas analogías que conviene destacar, porque forman un conjunto de normas generales que, de tenerlas presentes, facilitan las demostraciones y resolución de problemas.
Dada la variedad de cuestiones geométricas que se pueden proponer, es imposible indicar un método general para la resolución de todos los problemas de Geometría, pero sí, algunas normas generales, aplicables a cuestiones de índole análoga.
Para resolver un problema de Geometría, o demostrar una propiedad de las figuras geométricas, es conveniente:
1) establecer concretamente el objeto del problema o de la propiedad.
2) Establecer claramente cuál es la Hipótesis y cuál es la Tesis.
3) Construir una figura geométrica que corresponda al enunciado del problema o de la propiedad, marcando en ella la hipótesis y la tesis.
4) Si la tesis requiere un dibujo algo complicado, dibujar primeramente una figura que se aproxime lo más que sea posible a la tesis, llamada figura de análisis. Del estudio de esta figura podrá deducirse, generalmente, la construcción necesaria para llegar rigurosamente a la tesis. Esto se logra deduciendo de la hipótesis del problema todas las consecuencias posibles y convenientes, recordando las propiedades de las figuras que constituyen el objeto del problema o de la propiedad a demostrar.
5) Demostrada la tesis, conviene verificar si la solución es general, dentro de la hipótesis del problema o de la propiedad; o bien, si se presentan casos particulares, en los que el problema no tiene solución; esto constituye la discusión del problema.
6) a) Para demostrar la igualdad de segmentos, trátese de demostrar que son lados homólogos de triángulos iguales o lados de un triángulo isósceles, o lados opuestos de un paralelogramo, etc.
b) Para demostrar la igualdad de dos ángulos, trátese de demostrar que son ángulos correspondientes o alternos internos entre paralelas, o que tienen los lados paralelos o perpendiculares, o que son ángulos homólogos de triángulos iguales, o suplementos o complementos de un mismo ángulo, o adyacentes a la base de un triángulo isósceles, u opuestos de un paralelogramo, o que tienen la misma medida, o que son la suma o diferencia de ángulos iguales, etc.
a) Para demostrar que un ángulo es mayor que otro, véase sui es opuesto a mayor lado que el otro en el mismo triángulo, o si es externo de un triángulo, etc.
b) Para demostrar que un segmento es mayor que otro, véase si se opone a mayor ángulo en un triángulo, o si es un segmento oblicuo que tenga mayor proyección que el otro, etc.
c) Para demostrar que dos rectas son perpendiculares, empléense las propiedades de los triángulos isósceles o rectángulos, o las de las bisectrices de ángulos suplementarios, o las del rombo o del cuadrado, etc.
d) Para demostrar que dos rectas son paralelas, empléense las propiedades de los ángulos determinados por una secante a dos rectas, o las propiedades del paralelogramo, etc.