MATEMATICA II 3º FISICO MATEMATICO - MATEMATICA III 3º SOCIAL ECONOMIA

MATEMATICA II: 3º FISICO MATEMÁTICA (Reformulación 2006)
MATEMATICA III: 3º SOCIAL ECONOMÍA (Reformulación 2006)
APLICACIONES DE LA PARÁBOLA: MOVIMIENTO DE PROYECTILES


Consideremos un proyectil disparado en el vacío con una velocidad inicial v0 , bajo un ángulo de tiro α.

Para determinar la trayectoria de este proyectil tomemos un sistema de ejes cartesianos ortogonales situado en el plano vertical que contiene al eje del arma, que tenga por origen la posición inicial del centro del proyectil, y en el que el eje OX sea horizontal. En este plano se mueve dicho centro.
Para encontrar la posición del proyectil, t segundos después del disparo, aplicamos el principio de independencia de los movimientos.




De acuerdo con él podemos suponer descompuesto el movimiento real del proyectil en otros dos. Uno uniforme, de velocidad vo, según la dirección del eje del arma, y otro, uniformemente acelerado, de caída. Al cabo de t segundos el proyectil se encontraría en A a la distancia v0 t de su posición inicial, si obedeciese únicamente al primer movimiento, pero como simultáneamente va cayendo, durante t segundos recorrerá hacia abajo una distancia vertical ½ .g.t2 , siendo g la aceleración de la gravedad en el lugar en que se efectúa el disparo.
Por lo tanto la posición del proyectil, t segundos después del disparo se obtiene componiendo esos movimientos con lo que se determina el punto P. Las coordenadas de este punto P(x;y) que es uno cualquiera de la trayectoria del proyectil son:
y constituyen así las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil. Para hallar su ecuación cartesiana ordinaria debemos eliminar el parámetro t entre ambas ecuaciones. Para ello despejamos t en (1) y lo sustituimos en (2):
De (1) resulta:

lo que nos indica que: La trayectoria de un proyectil disparado en el vacío es una parábola de eje vertical.
Para hallar el vértice sacamos a de factor común:

Si queremos hallar el alcance máximo de ese tiro hallamos el valor de x para el cual es y=0, es decir, la abcisa del punto en que vuelve a tierra el proyectil.

valor éste que es igual al duplo de la abcisa del vértice de la parábola. Esta particularidad no debe extrañarnos, puesto que, por ser, en este caso, el eje de la parábola paralelo al eje OY, el punto de caída del proyectil debe ser simétrico con respecto a ese eje del punto de partida, de donde resulta que la distancia entre ambos debe ser el doble de la distancia del primero al eje; y como el punto de partida coincide con el origen, esas distancias son sus respectivas abcisas.